Spectral Convergence of Simplicial Complex Signals

要約

トポロジカル信号処理 (TSP) は、単純な複合体を利用して、頂点やエッジよりも高次の構造をモデル化します。
この論文では、コンプレクソンとして知られる一般化された高次バージョンのグラフォンを介した TSP の伝達性を研究します。
単純な複素数列の極限としてのコンプレクソンの概念を思い出します [1]。
グラフォン シフト オペレーターとメッセージ パッシング ニューラル ネットワークからインスピレーションを得て、コンプレクソンからのすべての可能な次元のコンポーネントに従ってマージナル コンプレクソンとコンプレクソン シフト オペレーター (CSO) を構築します。
CSO の固有値と固有ベクトルを調査し、それらを加重隣接行列の新しいファミリーに関連付けます。
単純な複素数信号シーケンスがコンプレクソン信号に収束すると、対応する CSO の固有値、固有空間、およびフーリエ変換が限界コンプレクソン信号の固有値、固有空間、およびフーリエ変換に収束することを証明します。
この結論は、2 つの数値実験によってさらに検証されます。
これらの結果は、グラフオン信号処理フレームワークを一般化する、大きな単純複素数または単純複素数列での学習伝達可能性を示唆しています。

要約(オリジナル)

Topological signal processing (TSP) utilizes simplicial complexes to model structures with higher order than vertices and edges. In this paper, we study the transferability of TSP via a generalized higher-order version of graphon, known as complexon. We recall the notion of a complexon as the limit of a simplicial complex sequence [1]. Inspired by the graphon shift operator and message-passing neural network, we construct a marginal complexon and complexon shift operator (CSO) according to components of all possible dimensions from the complexon. We investigate the CSO’s eigenvalues and eigenvectors and relate them to a new family of weighted adjacency matrices. We prove that when a simplicial complex signal sequence converges to a complexon signal, the eigenvalues, eigenspaces, and Fourier transform of the corresponding CSOs converge to that of the limit complexon signal. This conclusion is further verified by two numerical experiments. These results hint at learning transferability on large simplicial complexes or simplicial complex sequences, which generalize the graphon signal processing framework.

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