Anisotropic Diffusion Stencils: From Simple Derivations over Stability Estimates to ResNet Implementations

要約

拡散テンソルを使用した異方性拡散プロセスは、画像解析、物理学、工学において重要です。
ただし、それらの数値近似は、散逸アーチファクトや回転不変性からの逸脱に強い影響を与えます。
この研究では、3 x 3 ステンシル上の有限差分離散化の大規模なグループを研究します。
2 次元の異方性拡散を 4 つの 1 次元拡散に分割することでこれを導き出します。
結果として得られるステンシル クラスには 1 つの自由パラメーターが含まれ、既存の広範囲の離散化をカバーします。
これは、Weickert らの完全なステンシル ファミリーで構成されています。
(2013) と、それらの 2 つのパラメータに冗長性が含まれていることを示しています。
さらに、ステンシルに対応する行列のスペクトル ノルムの境界を確立します。
これにより、ユークリッドノルムにおける陽的スキームの安定性を保証するタイムステップサイズ制限が与えられます。
方向性分割により、明示的なスキームを ResNet ブロックに非常に自然に変換することもできます。
ニューラル ネットワーク ライブラリを採用すると、GPU でのシンプルかつ高効率な並列実装が可能になります。

要約(オリジナル)

Anisotropic diffusion processes with a diffusion tensor are important in image analysis, physics, and engineering. However, their numerical approximation has a strong impact on dissipative artefacts and deviations from rotation invariance. In this work, we study a large family of finite difference discretisations on a 3 x 3 stencil. We derive it by splitting 2-D anisotropic diffusion into four 1-D diffusions. The resulting stencil class involves one free parameter and covers a wide range of existing discretisations. It comprises the full stencil family of Weickert et al. (2013) and shows that their two parameters contain redundancy. Furthermore, we establish a bound on the spectral norm of the matrix corresponding to the stencil. This gives time step size limits that guarantee stability of an explicit scheme in the Euclidean norm. Our directional splitting also allows a very natural translation of the explicit scheme into ResNet blocks. Employing neural network libraries enables simple and highly efficient parallel implementations on GPUs.

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