Conditional Wasserstein Distances with Applications in Bayesian OT Flow Matching

要約

逆問題では、多くの条件付き生成モデルは、結合測定値とその学習された近似値との間の距離を最小化することによって事後測定値を近似します。
このアプローチはカルバックとライブラーの発散の場合の事後メジャー間の距離も制御しますが、これは一般にワッサーシュタイン距離には当てはまりません。
この論文では、事後分布の予想されるワッサーシュタイン距離に等しい一連の制限された結合を介した条件付きワッサーシュタイン距離を導入します。
興味深いことに、条件付き Wasserstein-1 フローの二重定式化は、非常に自然な方法で条件付き Wasserstein GAN 文献の損失に似ています。
条件付きワッサーシュタイン距離の理論的特性を導出し、対応する測地線と速度場、および流れ ODE を特徴付けます。
続いて、条件付きの Wasserstein 距離を緩和することで速度場を近似することを提案します。
これに基づいて、ベイジアン逆問題を解くための OT フロー マッチングの拡張を提案し、逆問題とクラス条件付き画像生成におけるその数値的利点を実証します。

要約(オリジナル)

In inverse problems, many conditional generative models approximate the posterior measure by minimizing a distance between the joint measure and its learned approximation. While this approach also controls the distance between the posterior measures in the case of the Kullback–Leibler divergence, this is in general not hold true for the Wasserstein distance. In this paper, we introduce a conditional Wasserstein distance via a set of restricted couplings that equals the expected Wasserstein distance of the posteriors. Interestingly, the dual formulation of the conditional Wasserstein-1 flow resembles losses in the conditional Wasserstein GAN literature in a quite natural way. We derive theoretical properties of the conditional Wasserstein distance, characterize the corresponding geodesics and velocity fields as well as the flow ODEs. Subsequently, we propose to approximate the velocity fields by relaxing the conditional Wasserstein distance. Based on this, we propose an extension of OT Flow Matching for solving Bayesian inverse problems and demonstrate its numerical advantages on an inverse problem and class-conditional image generation.

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