Sample complexity of quantum hypothesis testing

要約

量子仮説検定は伝統的に情報理論の観点から研究されており、未知の状態のサンプル数の関数としてのエラー確率の最適な減衰率に興味が持たれています。
この論文では、量子仮説検定のサンプルの複雑さを研究します。その目的は、望ましいエラー確率に到達するために必要なサンプルの最小数を決定することです。
量子仮説検定に関する文献にすでに存在する豊富な知識を利用することで、対称および非対称設定における二値量子仮説検定のサンプルの複雑さを特徴付け、複数の量子仮説検定のサンプルの複雑さの限界を提供します。
より詳細には、対称二値量子仮説検定のサンプルの複雑さは、誤差確率の逆数に対数的に依存し、忠実度の負の対数に逆数的に依存することを証明します。
量子シュタインの補題の対応物として、非対称二元量子仮説検定のサンプルの複雑さが、タイプ II の逆確率に対数的に依存し、量子相対エントロピーに逆依存することもわかります。
最後に、多量子仮説検定のサンプルの複雑さの下限と上限を示しますが、これらの上限を改善するための興味深い未解決の問題が残っています。

要約(オリジナル)

Quantum hypothesis testing has been traditionally studied from the information-theoretic perspective, wherein one is interested in the optimal decay rate of error probabilities as a function of the number of samples of an unknown state. In this paper, we study the sample complexity of quantum hypothesis testing, wherein the goal is to determine the minimum number of samples needed to reach a desired error probability. By making use of the wealth of knowledge that already exists in the literature on quantum hypothesis testing, we characterize the sample complexity of binary quantum hypothesis testing in the symmetric and asymmetric settings, and we provide bounds on the sample complexity of multiple quantum hypothesis testing. In more detail, we prove that the sample complexity of symmetric binary quantum hypothesis testing depends logarithmically on the inverse error probability and inversely on the negative logarithm of the fidelity. As a counterpart of the quantum Stein’s lemma, we also find that the sample complexity of asymmetric binary quantum hypothesis testing depends logarithmically on the inverse type~II error probability and inversely on the quantum relative entropy. Finally, we provide lower and upper bounds on the sample complexity of multiple quantum hypothesis testing, with it remaining an intriguing open question to improve these bounds.

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