Symbolic and User-friendly Geometric Algebra Routines (SUGAR) for Computations in Matlab

要約

幾何代​​数 (GA) は、幾何学的コンピューティングのための数学ツールであり、他の数学システムでは通常、さまざまなより複雑な要素を使用して記述される幾何学的関係に対する統一的でコンパクトなアプローチを可能にするフレームワークを提供します。
この事実により、応用数学および工学問題における GA の採用が増加しています。
ただし、GA のシンボリック実装が不足していることと、その固有の複雑さにより、特定の数学的背景が必要となるため、エンジニアにとって作業が難しく、直感的ではありません。
これにより、より応用的な専門家の間での幅広い採用が妨げられます。
この課題に対処するために、この文書では、Matlab 用に設計され、MIT ライセンスの下でライセンス供与されているオープンソース ツールボックスである SUGAR (Symbolic and User-Friendly Geometric Algebra Routines) を紹介します。
SUGAR は、GA 概念の Matlab への変換を容易にし、記号演算のサポートなど、GA 計算に合わせて調整されたユーザーフレンドリーな関数のコレクションを提供します。
高次元 GA での数値計算とシンボリック計算の両方をサポートします。
応用数学および工学アプリケーション向けに特別に調整された SUGAR は、文献で確立された計算方法論に沿って、2 次元および 3 次元の射影および等角幾何代数内の幾何学的要素と変換を表現できるように細心の注意を払って設計されています。
さらに、SUGAR は、指数関数、対数関数、正弦関数、余弦関数などのマルチベクトルの関数を効率的に処理し、ロボット工学、制御システム、パワー エレクトロニクスなどのさまざまなエンジニアリング領域での適用性を高めます。
最後に、この研究には 4 つの異なる検証例が含まれており、上記の分野にわたる SUGAR の機能と、現実世界の応用数学および工学の問題に対処する際の実際的な有用性を実証しています。

要約(オリジナル)

Geometric algebra (GA) is a mathematical tool for geometric computing, providing a framework that allows a unified and compact approach to geometric relations which in other mathematical systems are typically described using different more complicated elements. This fact has led to an increasing adoption of GA in applied mathematics and engineering problems. However, the scarcity of symbolic implementations of GA and its inherent complexity, requiring a specific mathematical background, make it challenging and less intuitive for engineers to work with. This prevents wider adoption among more applied professionals. To address this challenge, this paper introduces SUGAR (Symbolic and User-friendly Geometric Algebra Routines), an open-source toolbox designed for Matlab and licensed under the MIT License. SUGAR facilitates the translation of GA concepts into Matlab and provides a collection of user-friendly functions tailored for GA computations, including support for symbolic operations. It supports both numeric and symbolic computations in high-dimensional GAs. Specifically tailored for applied mathematics and engineering applications, SUGAR has been meticulously engineered to represent geometric elements and transformations within two and three-dimensional projective and conformal geometric algebras, aligning with established computational methodologies in the literature. Furthermore, SUGAR efficiently handles functions of multivectors, such as exponential, logarithmic, sinusoidal, and cosine functions, enhancing its applicability across various engineering domains, including robotics, control systems, and power electronics. Finally, this work includes four distinct validation examples, demonstrating SUGAR’s capabilities across the above-mentioned fields and its practical utility in addressing real-world applied mathematics and engineering problems.

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