Universal consistency of the $k$-NN rule in metric spaces and Nagata dimension. II

要約

我々は、完全分離計量空間における $k$ 最近傍 ($k$-NN) 学習規則の調査を続けます。
C\’erou と Guyader (2006) および Preiss (1983) の結果のおかげで、この規則は、永田の意味でのシグマ有限次元であるあらゆる計量空間において普遍的に一貫していることが知られています。
ここで、関係が存在しない場合、そのような空間ではルールが強く普遍的に一貫していることを示します。
Devroye、Gy\'{o}rfi、Krzy\.{z}ak、Lugosi (1994) がユークリッド設定で適用したタイブレーク戦略の下で、非アルキメデス計量空間で強い普遍的一貫性を示すことに成功しました。
（つまり、永田次元ゼロのもの）。
C\’erou と Guyader の定理を Assouad と Quentin de Gromard (2006) の結果と組み合わせると、$k$-NN 規則は de Groot の意味で有限次元を持つ計量空間において普遍的に矛盾しないと推測されます。
特に、$k$-NN 規則は、Kor\’anyi と Reimann (1995) および Sawyer と Wheeden によって独自に構築された例から次のように、永田の意味でのシグマ有限次元ではないハイゼンベルク群において普遍的に一貫しています。
（1992年）。

要約(オリジナル)

We continue to investigate the $k$ nearest neighbour ($k$-NN) learning rule in complete separable metric spaces. Thanks to the results of C\’erou and Guyader (2006) and Preiss (1983), this rule is known to be universally consistent in every such metric space that is sigma-finite dimensional in the sense of Nagata. Here we show that the rule is strongly universally consistent in such spaces in the absence of ties. Under the tie-breaking strategy applied by Devroye, Gy\'{o}rfi, Krzy\.{z}ak, and Lugosi (1994) in the Euclidean setting, we manage to show the strong universal consistency in non-Archimedian metric spaces (that is, those of Nagata dimension zero). Combining the theorem of C\’erou and Guyader with results of Assouad and Quentin de Gromard (2006), one deduces that the $k$-NN rule is universally consistent in metric spaces having finite dimension in the sense of de Groot. In particular, the $k$-NN rule is universally consistent in the Heisenberg group which is not sigma-finite dimensional in the sense of Nagata as follows from an example independently constructed by Kor\’anyi and Reimann (1995) and Sawyer and Wheeden (1992).

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