Spectral invariance and maximality properties of the frequency spectrum of quantum neural networks

要約

量子ニューラル ネットワーク (QNN) は、変分量子回路と密接に関係しているため、量子機械学習で人気のアプローチであり、ノイズの多い中間スケール量子 (NISQ) デバイスでの実用的なアプリケーションの有望な候補となっています。
QNN は有限フーリエ級数として表現でき、周波数のセットは周波数スペクトルと呼ばれます。
この周波数スペクトルを分析し、大規模なモデルに対してさまざまな最大値の結果を証明します。
さらに、いくつかの穏やかな条件下では、周波数スペクトルを保存する同じ面積 $A = RL$ を持つモデルのクラス間に全単射が存在することを証明します。ここで、$R$ は量子ビットの数、$L$ は層の数を示します。
したがって、これを領域保存変換の下でのスペクトル不変性と呼びます。
これにより、文献でよく観察される結果における $R$ と $L$ の対称性を説明し、最大周波数スペクトルが $A = RL$ の領域のみに依存し、$R$ と $L$ の個々の値には依存しないことを示します。
$L$。
さらに、既存の結果を拡張し、生成器のスペクトルの関数として任意の数の層を持つ QNN の可能な最大周波数スペクトルを指定します。
QNN のジェネレーターが 2 次元のサブジェネレーターにさらに分解できる場合、この仕様は基本的な数理論的考察に基づいたものになります。
任意次元ジェネレータの場合、いわゆるゴロム定規に基づいて既存の結果を拡張し、緩和ターンパイク問題と呼ばれるターンパイク問題のバリエーションに基づいた 2 番目の新しいアプローチを導入します。

要約(オリジナル)

Quantum Neural Networks (QNNs) are a popular approach in Quantum Machine Learning due to their close connection to Variational Quantum Circuits, making them a promising candidate for practical applications on Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) devices. A QNN can be expressed as a finite Fourier series, where the set of frequencies is called the frequency spectrum. We analyse this frequency spectrum and prove, for a large class of models, various maximality results. Furthermore, we prove that under some mild conditions there exists a bijection between classes of models with the same area $A = RL$ that preserves the frequency spectrum, where $R$ denotes the number of qubits and $L$ the number of layers, which we consequently call spectral invariance under area-preserving transformations. With this we explain the symmetry in $R$ and $L$ in the results often observed in the literature and show that the maximal frequency spectrum depends only on the area $A = RL$ and not on the individual values of $R$ and $L$. Moreover, we extend existing results and specify the maximum possible frequency spectrum of a QNN with arbitrarily many layers as a function of the spectrum of its generators. If the generators of the QNN can be further decomposed into 2-dimensional sub-generators, then this specification follows from elementary number-theoretical considerations. In the case of arbitrary dimensional generators, we extend existing results based on the so-called Golomb ruler and introduce a second novel approach based on a variation of the turnpike problem, which we call the relaxed turnpike problem.

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