Unraveling the Single Tangent Space Fallacy: An Analysis and Clarification for Applying Riemannian Geometry in Robot Learning

要約

ロボット工学の領域では、数多くの下流ロボットタスクが、データの処理、モデリング、合成に機械学習手法を活用している。多くの場合、このデータは、剛体の向きを表す四元数の単位ノルム条件や、剛性と操作性の楕円体の正定値性など、本質的に幾何学的制約を持つ変数で構成されます。このような幾何学的制約を効果的に扱うには、微分幾何学のツールを機械学習法の定式化に取り入れる必要がある。この文脈において、リーマン多様体は、このような幾何学的制約を扱うための強力な数学的枠組みとして登場する。にもかかわらず、近年のロボット学習におけるリーマン多様体の採用は、数学的に欠陥のある単純化（以下、「単一接線空間の誤り」と呼ぶ）によって特徴づけられている。このアプローチは、単に単一の接線（ユークリッド）空間に対象データを投影し、その上で既製の学習アルゴリズムを適用するものである。本稿では、このアプローチを取り巻く様々な誤解を理論的に解明し、その欠点を実験的に証明する。最後に、ロボット学習アプリケーションにリーマン幾何学を採用する際のベストプラクティスを促進するための貴重な洞察を示す。

要約(オリジナル)

In the realm of robotics, numerous downstream robotics tasks leverage machine learning methods for processing, modeling, or synthesizing data. Often, this data comprises variables that inherently carry geometric constraints, such as the unit-norm condition of quaternions representing rigid-body orientations or the positive definiteness of stiffness and manipulability ellipsoids. Handling such geometric constraints effectively requires the incorporation of tools from differential geometry into the formulation of machine learning methods. In this context, Riemannian manifolds emerge as a powerful mathematical framework to handle such geometric constraints. Nevertheless, their recent adoption in robot learning has been largely characterized by a mathematically-flawed simplification, hereinafter referred to as the ‘single tangent space fallacy’. This approach involves merely projecting the data of interest onto a single tangent (Euclidean) space, over which an off-the-shelf learning algorithm is applied. This paper provides a theoretical elucidation of various misconceptions surrounding this approach and offers experimental evidence of its shortcomings. Finally, it presents valuable insights to promote best practices when employing Riemannian geometry within robot learning applications.

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