Ricci flow-guided autoencoders in learning time-dependent dynamics

要約

我々は、時間の非線形力学、特に偏微分方程式（PDE）を学習するための多様体ベースのオートエンコーダ法を提案します。この方法では、多様体の潜在空間がリッチフローに従って進化します。
これは、物理学に基づいた設定でリッチ流をシミュレートすることによって実現でき、リッチ流が経験的に達成されるように多様体の量を一致させることができます。
私たちの方法論では、多様体はトレーニング手順の一部として学習されるため、理想的なジオメトリを識別できると同時に、進化により静的手法よりもより適応的な潜在表現が誘導されます。
周期性やランダム性、分布内誤差や外挿シナリオなどの望ましい特性を包含する偏微分方程式で構成される一連の数値実験に関する手法を紹介します。

要約(オリジナル)

We present a manifold-based autoencoder method for learning nonlinear dynamics in time, notably partial differential equations (PDEs), in which the manifold latent space evolves according to Ricci flow. This can be accomplished by simulating Ricci flow in a physics-informed setting, and manifold quantities can be matched so that Ricci flow is empirically achieved. With our methodology, the manifold is learned as part of the training procedure, so ideal geometries may be discerned, while the evolution simultaneously induces a more accommodating latent representation over static methods. We present our method on a range of numerical experiments consisting of PDEs that encompass desirable characteristics such as periodicity and randomness, remarking error on in-distribution and extrapolation scenarios.

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