An optimal tradeoff between entanglement and copy complexity for state tomography

要約

現代の量子デバイスに対する実際的な制約が量子学習の複雑さにどのような影響を与えるかを理解することに大きな関心が寄せられています。
トモグラフィーの古典的な問題について、最近の研究では、一度に未知の状態のコピーを 1 つしか測定できないプロトコルのコピーの複雑性が厳密に特徴づけられており、完全にもつれ状態の測定ができる場合よりも多項式的に悪いことが示されています。
私たちは現在、短期的なフォールトトレラント体制におけるそのようなタスクの料金についてかなり完全な全体像を把握していますが、その間の状況がどのようなものであるかは依然としてよくわかっていません。
この研究では、一度に $t$ のコピーを測定できる自然環境での断層撮影法を研究します。
十分に小さい $\epsilon$ の場合、任意の $t \le d^2$ に対して $\widetilde{\Theta}(\frac{d^3}{\sqrt{t}\epsilon^2})$ となることがわかります。
コピーは、距離 $\epsilon$ を追跡するために未知の $d$ 次元状態 $\rho$ を学習するのに必要かつ十分です。
これにより、シングルコピー測定と完全エンタングル測定の既知のレート間のスムーズで最適な補間が実現します。
私たちの知る限り、これはあらゆる量子学習タスクで知られている最初の滑らかなもつれとコピーのトレードオフであり、トモグラフィーでは $t = 2$ であってもこの曲線上の中間点は知られていませんでした。
重要な障害は、最適なシングルコピー プロトコルとは異なり、最適な完全エンタングル プロトコルには本質的に偏りがあるため、単純なバッチ処理アプローチが妨げられることです。
代わりに、Keyl のアルゴリズムを使用して、単一コピーの測定に基づいて $\rho$ の大まかな推定値を改良する、新しい 2 段階の手順を考案しました。
重要な洞察は、シュール・ワイルサンプリングを使用して $\rho$ のスペクトルを推定するのではなく、最大混合状態からの $\rho$ の偏差を推定することです。
$\rho$ が最大混合状態から遠く離れている場合、$\rho$ が最大混合状態に近い場合に帰着する新しい量子分割手順を考案します。

要約(オリジナル)

There has been significant interest in understanding how practical constraints on contemporary quantum devices impact the complexity of quantum learning. For the classic question of tomography, recent work tightly characterized the copy complexity for any protocol that can only measure one copy of the unknown state at a time, showing it is polynomially worse than if one can make fully-entangled measurements. While we now have a fairly complete picture of the rates for such tasks in the near-term and fault-tolerant regimes, it remains poorly understood what the landscape in between looks like. In this work, we study tomography in the natural setting where one can make measurements of $t$ copies at a time. For sufficiently small $\epsilon$, we show that for any $t \le d^2$, $\widetilde{\Theta}(\frac{d^3}{\sqrt{t}\epsilon^2})$ copies are necessary and sufficient to learn an unknown $d$-dimensional state $\rho$ to trace distance $\epsilon$. This gives a smooth and optimal interpolation between the known rates for single-copy and fully-entangled measurements. To our knowledge, this is the first smooth entanglement-copy tradeoff known for any quantum learning task, and for tomography, no intermediate point on this curve was known, even at $t = 2$. An important obstacle is that unlike the optimal single-copy protocol, the optimal fully-entangled protocol is inherently biased and thus precludes naive batching approaches. Instead, we devise a novel two-stage procedure that uses Keyl’s algorithm to refine a crude estimate for $\rho$ based on single-copy measurements. A key insight is to use Schur-Weyl sampling not to estimate the spectrum of $\rho$, but to estimate the deviation of $\rho$ from the maximally mixed state. When $\rho$ is far from the maximally mixed state, we devise a novel quantum splitting procedure that reduces to the case where $\rho$ is close to maximally mixed.

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