Optimal Transport on the Lie Group of Roto-translations

要約

ロトトランスレーション群 SE2 は、画像データをこのリー群で定義された多方向表現にリフトする方法により、画像解析において非常に注目されています。
これにより、画像のノイズ除去、測地線追跡、ロトトランスレーション等変深層学習のための交差保存フローの効果的な応用が可能になりました。
この論文では、特に SE2 に焦点を当てて、リー群上の最適な輸送のための計算フレームワークを開発します。
我々は、輸送マップとしての群作用の非最適性、最適輸送の不変性と等変性、測地線距離近似を使用したエントロピー正則化された最適輸送計画の品質など、いくつかの理論的貢献（行列リー群に一般化可能）を行います。
私たちは、リー群の高速かつ正確な距離近似と GPU に適した群畳み込みを使用して効率的に実装できる、Sinkhorn のようなアルゴリズムを開発します。
我々は、1) 画像重心、2) 平面配向フィールドの補間、および 3) SE2 上のワッサーシュタイン勾配流に関する実験における貴重な進歩を報告します。
画像を SE2 に持ち上げるフレームワークと、左不変異方性メトリクスによる最適なトランスポートが、画像内の主要な輪郭と顕著な線構造に沿った等変トランスポートにつながることを観察します。
これにより、$\mathbb{R}^2$ の対応する補間と比較して、よりシャープで意味のある補間が得られます。

要約(オリジナル)

The roto-translation group SE2 has been of active interest in image analysis due to methods that lift the image data to multi-orientation representations defined on this Lie group. This has led to impactful applications of crossing-preserving flows for image de-noising, geodesic tracking, and roto-translation equivariant deep learning. In this paper, we develop a computational framework for optimal transportation over Lie groups, with a special focus on SE2. We make several theoretical contributions (generalizable to matrix Lie groups) such as the non-optimality of group actions as transport maps, invariance and equivariance of optimal transport, and the quality of the entropic-regularized optimal transport plan using geodesic distance approximations. We develop a Sinkhorn like algorithm that can be efficiently implemented using fast and accurate distance approximations of the Lie group and GPU-friendly group convolutions. We report valuable advancements in the experiments on 1) image barycenters, 2) interpolation of planar orientation fields, and 3) Wasserstein gradient flows on SE2. We observe that our framework of lifting images to SE2 and optimal transport with left-invariant anisotropic metrics leads to equivariant transport along dominant contours and salient line structures in the image. This yields sharper and more meaningful interpolations compared to their counterparts on $\mathbb{R}^2$

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