Better Neural PDE Solvers Through Data-Free Mesh Movers

要約

最近、ニューラル ネットワークは、物理システム モデリングにおける偏微分方程式 (PDE) を解くために広く使用されています。
主要な研究は、事前定義された静的メッシュの離散化に関する学習システムの進化に焦点を当てていますが、一部の方法では、これらのシステムの動的な性質により、強化学習または教師あり学習技術を利用して、適応的で動的メッシュを作成します。
ただし、これらのアプローチは 2 つの主な課題に直面しています。(1) 高価な最適メッシュ データの必要性、および (2) メッシュ改良中の解空間の自由度およびトポロジーの変更。
これらの課題に対処するために、この論文ではニューラル メッシュ アダプターを備えたニューラル PDE ソルバーを提案します。
まず、2 つの主要な革新を備えた、Data-free Mesh Mover (DMM) と呼ばれる新しいデータフリー ニューラル メッシュ アダプターを紹介します。
まず、これはソリューションを適応メッシュにマッピングするオペレーターであり、最適なメッシュ データを使用せずに Monge-Amp\`ere 方程式を使用してトレーニングされます。
次に、ノードやエッジを追加または削除するのではなく、既存のノードを移動することでメッシュを動的に変更します。
理論的分析により、DMM によって生成されたメッシュは内挿誤差限界が最も低いことが示されています。
動的システムを効率的かつ正確にモデル化するために、DMM に基づいて、移動メッシュ ベースのニューラル PDE ソルバー (MM-PDE) を開発します。このソルバーには、データ内の情報を保存するための 2 分岐アーキテクチャと学習可能な内挿フレームワークを備えた移動メッシュが埋め込まれています。
経験的な実験により、私たちの方法が適切なメッシュを生成し、広く考慮されている PDE システムをモデル化する際の精度が大幅に向上することが実証されています。
コードは https://github.com/Peiyannn/MM-PDE.git にあります。

要約(オリジナル)

Recently, neural networks have been extensively employed to solve partial differential equations (PDEs) in physical system modeling. While major studies focus on learning system evolution on predefined static mesh discretizations, some methods utilize reinforcement learning or supervised learning techniques to create adaptive and dynamic meshes, due to the dynamic nature of these systems. However, these approaches face two primary challenges: (1) the need for expensive optimal mesh data, and (2) the change of the solution space’s degree of freedom and topology during mesh refinement. To address these challenges, this paper proposes a neural PDE solver with a neural mesh adapter. To begin with, we introduce a novel data-free neural mesh adaptor, called Data-free Mesh Mover (DMM), with two main innovations. Firstly, it is an operator that maps the solution to adaptive meshes and is trained using the Monge-Amp\`ere equation without optimal mesh data. Secondly, it dynamically changes the mesh by moving existing nodes rather than adding or deleting nodes and edges. Theoretical analysis shows that meshes generated by DMM have the lowest interpolation error bound. Based on DMM, to efficiently and accurately model dynamic systems, we develop a moving mesh based neural PDE solver (MM-PDE) that embeds the moving mesh with a two-branch architecture and a learnable interpolation framework to preserve information within the data. Empirical experiments demonstrate that our method generates suitable meshes and considerably enhances accuracy when modeling widely considered PDE systems. The code can be found at: https://github.com/Peiyannn/MM-PDE.git.

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