Denoising Diffusion Restoration Tackles Forward and Inverse Problems for the Laplace Operator

要約

拡散モデルは、ノイズの多い入力を現実的な画像にマッピングする生成モデルの有望なクラスとして浮上しています。
最近では、偏微分方程式 (PDE) の解を生成するために使用されています。
ただし、固有値が大きいと測定ノイズが増幅されるため、ポアソン方程式などのラプラシアン演算子の逆問題に依然として苦労しています。
この論文では、ノイズ除去拡散復元モデル (DDRM) を使用した PDE の逆および順解の新しいアプローチを紹介します。
DDRM は線形逆問題で使用され、線形演算子の特異値分解 (SVD) を利用して元のクリーンな信号を復元しました。
同様に、ラプラシアン演算子の固有値と固有関数を利用して、ポアソン方程式の解とパラメーターを復元するアプローチを提示します。
私たちの結果は、ノイズ除去拡散復元を使用すると、解とパラメータの推定が大幅に改善されることを示しています。
その結果、私たちの研究は、偏微分方程式を解くための拡散モデルと基礎となる物理原理との統合の先駆者となりました。

要約(オリジナル)

Diffusion models have emerged as a promising class of generative models that map noisy inputs to realistic images. More recently, they have been employed to generate solutions to partial differential equations (PDEs). However, they still struggle with inverse problems in the Laplacian operator, for instance, the Poisson equation, because the eigenvalues that are large in magnitude amplify the measurement noise. This paper presents a novel approach for the inverse and forward solution of PDEs through the use of denoising diffusion restoration models (DDRM). DDRMs were used in linear inverse problems to restore original clean signals by exploiting the singular value decomposition (SVD) of the linear operator. Equivalently, we present an approach to restore the solution and the parameters in the Poisson equation by exploiting the eigenvalues and the eigenfunctions of the Laplacian operator. Our results show that using denoising diffusion restoration significantly improves the estimation of the solution and parameters. Our research, as a result, pioneers the integration of diffusion models with the principles of underlying physics to solve PDEs.

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