Novel definition and quantitative analysis of branch structure with topological data analysis

要約

分岐ネットワーク構造は自然界に数多く存在しますが、既存の定量的手法は分岐構造の主観的な判断に依存していることが多いため、その客観的な分析は予想よりも困難です。
この問題は、離散粒子を含む画像を扱う場合に特に顕著です。
ここでは、トポロジカルデータ解析、特に永続的相同性に基づいた内部構造と外部構造の数学的定義を導入することにより、分岐ネットワークの定量的解析のための客観的な枠組みを提案します。
凸包上のプロットがある場合とない場合の画像から構築された永続性ダイアグラムを比較します。
2 つの図の変わらない点は内部構造であり、2 つの図の違いは外部構造です。
私たちの方法のための数学理論を構築し、内部構造は凸包上のプロットに関して単調関係を持っているが、外部構造はそうではないことを示します。
これは画像の解像度に関わる現象です。
私たちの手法は生物学における幅広い枝構造に適用でき、数、空間分布、サイズなどの客観的な分析が可能になります。
さらに、私たちの方法は、一般化された永続化ランドスケープなど、トポロジカル データ分析の他のツールと組み合わせる可能性があります。

要約(オリジナル)

While branching network structures abound in nature, their objective analysis is more difficult than expected because existing quantitative methods often rely on the subjective judgment of branch structures. This problem is particularly pronounced when dealing with images comprising discrete particles. Here we propose an objective framework for quantitative analysis of branching networks by introducing the mathematical definitions for internal and external structures based on topological data analysis, specifically, persistent homology. We compare persistence diagrams constructed from images with and without plots on the convex hull. The unchanged points in the two diagrams are the internal structures and the difference between the two diagrams is the external structures. We construct a mathematical theory for our method and show that the internal structures have a monotonicity relationship with respect to the plots on the convex hull, while the external structures do not. This is the phenomenon related to the resolution of the image. Our method can be applied to a wide range of branch structures in biology, enabling objective analysis of numbers, spatial distributions, sizes, and more. Additionally, our method has the potential to be combined with other tools in topological data analysis, such as the generalized persistence landscape.

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