Continuous Multidimensional Scaling

要約

多次元スケーリング (MDS) は、$d$ 次元のユークリッド空間に $n$ オブジェクトのセットに関する近接情報を埋め込む行為です。
もともと心理測定コミュニティによって考案されたように、MDS はオブジェクトの固定セットに関連付けられた近接性の固定セットを埋め込むことに関係していました。
たとえば、ランダム グラフでの統計的推論のための漸近理論を開発する際に生じる現代の懸念には、より一般的には、増加するオブジェクトのセットに関連する一連の近接性の制限的な動作の研究が含まれます。
点対集合写像の理論からの標準的な結果は、$n$ が固定され、近接のシーケンスが収束する場合、埋め込まれた構造の極限は、制限された近接の埋め込まれた構造であることを意味します。
しかし、$n$ が増加したらどうなるでしょうか?
次に、一連の埋め込み問題全体を固定空間内の一連の最適化問題として見なせるように、MDS を再定式化することが必要になります。
我々はそのような再定式化を提示し、いくつかの結果を導き出します。

要約(オリジナル)

Multidimensional scaling (MDS) is the act of embedding proximity information about a set of $n$ objects in $d$-dimensional Euclidean space. As originally conceived by the psychometric community, MDS was concerned with embedding a fixed set of proximities associated with a fixed set of objects. Modern concerns, e.g., that arise in developing asymptotic theories for statistical inference on random graphs, more typically involve studying the limiting behavior of a sequence of proximities associated with an increasing set of objects. Standard results from the theory of point-to-set maps imply that, if $n$ is fixed and a sequence of proximities converges, then the limit of the embedded structures is the embedded structure of the limiting proximities. But what if $n$ increases? It then becomes necessary to reformulate MDS so that the entire sequence of embedding problems can be viewed as a sequence of optimization problems in a fixed space. We present such a reformulation and derive some consequences.

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