Sliced-Wasserstein Estimation with Spherical Harmonics as Control Variates

要約

確率測度間のスライス・ワッサーシュタイン（SW）距離は、関連する一次元射影の結果として得られるワッサーシュタイン距離の平均として定義される。結果として、SW距離は球面上の一様尺度に関する積分として書くことができ、SW距離の計算にはモンテカルロの枠組みを用いることができる。球面調和は球面上の多項式であり、球面上の正方可積分関数の集合の正規直交基底を形成する。この2つの事実を組み合わせ、球面調和を制御変分として用いてSW距離を近似する新しいモンテカルロ法（ここでは球面調和制御変分（SHCV）と呼ぶ）を提案する。その結果、この手法は理論的に優れた特性を持つことが示された。例えば、ある種の変数間の線形依存性のもとでは、ガウス測度に対して誤差のない特性を持つ。さらに、モンテカルロ法と比較して、一般的な尺度の収束率が改善されている。収束解析はSW積分のリプシッツ特性に依存している。いくつかの数値実験により、SW距離計算の最新手法に対してSHCVの優れた性能が実証された。

要約(オリジナル)

The Sliced-Wasserstein (SW) distance between probability measures is defined as the average of the Wasserstein distances resulting for the associated one-dimensional projections. As a consequence, the SW distance can be written as an integral with respect to the uniform measure on the sphere and the Monte Carlo framework can be employed for calculating the SW distance. Spherical harmonics are polynomials on the sphere that form an orthonormal basis of the set of square-integrable functions on the sphere. Putting these two facts together, a new Monte Carlo method, hereby referred to as Spherical Harmonics Control Variates (SHCV), is proposed for approximating the SW distance using spherical harmonics as control variates. The resulting approach is shown to have good theoretical properties, e.g., a no-error property for Gaussian measures under a certain form of linear dependency between the variables. Moreover, an improved rate of convergence, compared to Monte Carlo, is established for general measures. The convergence analysis relies on the Lipschitz property associated to the SW integrand. Several numerical experiments demonstrate the superior performance of SHCV against state-of-the-art methods for SW distance computation.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, DeepL