Operator learning without the adjoint

要約

演算子の学習の中心には謎があります。つまり、随伴演算子を調べずにデータから非自己随伴演算子をどのように復元できるのでしょうか?
現在の実用的なアプローチは、アジョイントにアクセスせずに演算子の順方向アクションによって生成されたデータのみを使用しながら、演算子を正確に回復できることを示唆しています。
しかし、素朴に、随伴物のアクションをサンプリングすることが不可欠であるように思えます。
この論文では、随伴関数を問い合わせることなく、フーリエ基底への射影によって非自己随伴無限次元コンパクト演算子群を近似できることを証明することで、この謎を部分的に説明します。
次に、その結​​果を楕円偏微分演算子のグリーン関数の回復に適用し、随伴自由サンプルの複雑さの限界を導き出します。
既存の理論は演算子の学習におけるサンプルの複雑さが低いことを正当化しますが、私たちの理論は理論と実践の間のギャップを埋めることを試みた初の随伴フリー分析です。

要約(オリジナル)

There is a mystery at the heart of operator learning: how can one recover a non-self-adjoint operator from data without probing the adjoint? Current practical approaches suggest that one can accurately recover an operator while only using data generated by the forward action of the operator without access to the adjoint. However, naively, it seems essential to sample the action of the adjoint. In this paper, we partially explain this mystery by proving that without querying the adjoint, one can approximate a family of non-self-adjoint infinite-dimensional compact operators via projection onto a Fourier basis. We then apply the result to recovering Green’s functions of elliptic partial differential operators and derive an adjoint-free sample complexity bound. While existing theory justifies low sample complexity in operator learning, ours is the first adjoint-free analysis that attempts to close the gap between theory and practice.

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