Extracting Dynamical Models from Data

要約

システムの状態の経時的なデータのみが与えられた場合に、そのシステムの根底にあるダイナミクスを決定するという問題は、何十年にもわたって科学者を悩ませてきました。
この論文では、機械学習を使用して位相空間変数の更新をモデル化するアプローチを紹介します。
これは位相空間変数の関数として行われます。
(より一般的には、モデリングはジェット空間の関数に対して行われます。) このアプローチ (FJet と呼ばれる) により、ダイナミクスを正確に再現することができ、減衰調和振動子、減衰振り子、およびダフィング振動子の例で実証されます。
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基礎となる微分方程式も各例で正確に復元されます。
さらに、結果は、時間の経過に伴うデータのサンプリング方法 (つまり、定期的または不定期) にはまったく依存しません。
FJet の回帰実装は、Runge-Kutta (RK) 数値積分スキームの Taylor 級数展開から得られるモデルに似ていることが実証されています。
この識別により、モデリングに使用する関数空間と、更新に関連する不確実性の定量化が明示的に明らかにされるという利点が得られます。
最後に、非減衰調和発振器の例では、更新の安定性が $4$ 次 RK (タイム ステップ $0.1$) よりも $10^9$ 倍長く安定していることが示されています。

要約(オリジナル)

The problem of determining the underlying dynamics of a system when only given data of its state over time has challenged scientists for decades. In this paper, the approach of using machine learning to model the updates of the phase space variables is introduced; this is done as a function of the phase space variables. (More generally, the modeling is done over functions of the jet space.) This approach (named FJet) allows one to accurately replicate the dynamics, and is demonstrated on the examples of the damped harmonic oscillator, the damped pendulum, and the Duffing oscillator; the underlying differential equation is also accurately recovered for each example. In addition, the results in no way depend on how the data is sampled over time (i.e., regularly or irregularly). It is demonstrated that a regression implementation of FJet is similar to the model resulting from a Taylor series expansion of the Runge-Kutta (RK) numerical integration scheme. This identification confers the advantage of explicitly revealing the function space to use in the modeling, as well as the associated uncertainty quantification for the updates. Finally, it is shown in the undamped harmonic oscillator example that the stability of the updates is stable $10^9$ times longer than with $4$th-order RK (with time step $0.1$).

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