Learning Domain-Independent Green’s Function For Elliptic Partial Differential Equations

要約

グリーン関数は偏微分方程式 (PDE) を特徴付け、その解を領域全体に積分としてマッピングします。
グリーン関数の解析形式を見つけることは、特に複素領域で定義された偏微分方程式や可変係数を持つ偏微分方程式の場合、簡単ではありません。
この論文では、BIN-G と呼ばれる、領域に依存しないグリーン関数を学習するための新しい境界積分ネットワークを提案します。
放射基底関数 (RBF) カーネルベースのニューラル ネットワークを使用して、BIN-G のグリーン関数を評価します。
PDE の残差と、所定のテスト関数の境界積分方程式の解の平均二乗誤差を最小限に抑えることで、BIN-G をトレーニングします。
グリーン関数の対称性を利用し、グリーン関数の特異点近くで RBF カーネルの改良を制御することにより、数値スキームが可変係数を持つ偏微分方程式のグリーン関数の高速トレーニングと正確な評価を可能にすることを示します。
学習されたグリーン関数は、境界積分定式化における領域幾何学、強制項、および境界条件から独立しています。
数値実験により、メソッドの望ましい特性と、可変係数を使用した 2 次元のポアソン方程式とヘルムホルツ方程式の期待される精度が検証されます。

要約(オリジナル)

Green’s function characterizes a partial differential equation (PDE) and maps its solution in the entire domain as integrals. Finding the analytical form of Green’s function is a non-trivial exercise, especially for a PDE defined on a complex domain or a PDE with variable coefficients. In this paper, we propose a novel boundary integral network to learn the domain-independent Green’s function, referred to as BIN-G. We evaluate the Green’s function in the BIN-G using a radial basis function (RBF) kernel-based neural network. We train the BIN-G by minimizing the residual of the PDE and the mean squared errors of the solutions to the boundary integral equations for prescribed test functions. By leveraging the symmetry of the Green’s function and controlling refinements of the RBF kernel near the singularity of the Green function, we demonstrate that our numerical scheme enables fast training and accurate evaluation of the Green’s function for PDEs with variable coefficients. The learned Green’s function is independent of the domain geometries, forcing terms, and boundary conditions in the boundary integral formulation. Numerical experiments verify the desired properties of the method and the expected accuracy for the two-dimensional Poisson and Helmholtz equations with variable coefficients.

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