Data-Driven Discovery of PDEs via the Adjoint Method

要約

この研究では、与えられたデータから基礎となる支配偏微分方程式 (PDE) を発見するための随伴ベースの方法を紹介します。
この考え方は、パラメーター化された PDE を一般的な形式で考慮し、データからの PDE 解の誤差を最小限に抑える最適化問題を定式化することです。
変分積分を使用すると、ラグランジュ乗数の発展方程式 (随伴方程式) が得られ、データが与えられた偏微分方程式のパラメーターに関する目的関数の勾配を簡単に計算できます。
特に、パラメータ化された非線形偏微分方程式のファミリーについて、対応する随伴方程式をどのように導出できるかを示します。
ここでは、滑らかなデータセットが与えられた場合、提案された随伴法が機械精度まで真の偏微分方程式を回復できることを示します。
ただし、ノイズが存在する場合、アジョイント法の精度は、PDE-FIND として知られる有名な非線形ダイナミクスの PDE 関数同定法と同等になります (Rudy et al., 2017)。
提示された随伴法は前方/後方ソルバーに依存していますが、各 PDE パラメーターに関するコスト関数の勾配の解析式のおかげで、大規模なデータ セットに対して PDE-FIND よりも優れたパフォーマンスを発揮します。

要約(オリジナル)

In this work, we present an adjoint-based method for discovering the underlying governing partial differential equations (PDEs) given data. The idea is to consider a parameterized PDE in a general form, and formulate the optimization problem that minimizes the error of PDE solution from data. Using variational calculus, we obtain an evolution equation for the Lagrange multipliers (adjoint equations) allowing us to compute the gradient of the objective function with respect to the parameters of PDEs given data in a straightforward manner. In particular, for a family of parameterized and nonlinear PDEs, we show how the corresponding adjoint equations can be derived. Here, we show that given smooth data set, the proposed adjoint method can recover the true PDE up to machine accuracy. However, in the presence of noise, the accuracy of the adjoint method becomes comparable to the famous PDE Functional Identification of Nonlinear Dynamics method known as PDE-FIND (Rudy et al., 2017). Even though the presented adjoint method relies on forward/backward solvers, it outperforms PDE-FIND for large data sets thanks to the analytic expressions for gradients of the cost function with respect to each PDE parameter.

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