A Theory of General Difference in Continuous and Discrete Domain

要約

数値差分アルゴリズムはデジタル時代の中核要素ですが、ノイズの影響を受けやすいという問題があります。
これは、連続微分における微小量と、対応する離散量における有限区間との間の重要な断絶に起因します。
この断絶は、微分の基本的な定義 (ライプニッツとコーシー) に違反します。
このギャップを埋めるために、新しい一般的な差異 (Tao General Difference、TGD) を構築します。
TGD は、積分による導関数から離れて、3 つの主要な制約を通じて連続領域の有限区間への微分を一般化します。
これにより、シーケンスから構築された連続ステップ関数を介して、離散領域におけるシーケンスの一般的な差を計算することができます。
TGD の演算子を構築するために、回転構築と直交構築という 2 つの構築方法が提案されています。
構築 TGD 演算子は、任意の次元にわたる連続関数、離散シーケンス、配列の計算で同じ畳み込みモードを使用します。
操作例を使用した分析では、連続領域と離散領域の両方における TGD の機能を示し、デジタル時代における正確でノイズ耐性のある差別化への道を切り開きます。

要約(オリジナル)

Though a core element of the digital age, numerical difference algorithms struggle with noise susceptibility. This stems from a key disconnect between the infinitesimal quantities in continuous differentiation and the finite intervals in its discrete counterpart. This disconnect violates the fundamental definition of differentiation (Leibniz and Cauchy). To bridge this gap, we build a novel general difference (Tao General Difference, TGD). Departing from derivative-by-integration, TGD generalizes differentiation to finite intervals in continuous domains through three key constraints. This allows us to calculate the general difference of a sequence in discrete domain via the continuous step function constructed from the sequence. Two construction methods, the rotational construction and the orthogonal construction, are proposed to construct the operators of TGD. The construction TGD operators take same convolution mode in calculation for continuous functions, discrete sequences, and arrays across any dimension. Our analysis with example operations showcases TGD’s capability in both continuous and discrete domains, paving the way for accurate and noise-resistant differentiation in the digital era.

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