MNL-Bandit with Knapsacks: a near-optimal algorithm

要約

販売者が $N$ の代替可能な製品の固定在庫を持ち、$T$ の期間にわたって順次到着する未知の需要に直面する、動的な品揃え選択の問題を考えます。
各期間において、販売者は顧客に提供する（特定の制約を満たす）製品の品揃えを決定する必要があります。
顧客の応答は、パラメーター $\boldsymbol{v}$ を持つ未知の多項ロジット モデル (MNL) に従います。
顧客が製品 $i \in [N]$ を選択すると、販売者は収益 $r_i$ を受け取ります。
販売者の目標は、$N$ 製品の初期在庫が固定されている場合に、$T$ の顧客から期待される総収益を最大化することです。
我々は、UCBベースのアルゴリズムであるMNLwK-UCBを紹介し、さまざまな在庫サイズの体制下での後悔の特徴を特徴付けます。
在庫サイズが時間の経過とともに準線形に増加すると、MNLwK-UCB は $\tilde{O}(N + \sqrt{NT})$ リグレス限界に達することを示します。
また、在庫が小さい場合 (成長 $\sim T^{\alpha}$、$\alpha < 1$)、MNLwK-UCB が $\tilde{O}(N(1 + T^{\ frac{1 - \alpha}{2}}) + \sqrt{NT})$。 特に、長期期間 $T$ にわたって、制約や在庫のサイズに関係なく、レート $\tilde{O}(\sqrt{NT})$ が常に達成されます。

要約(オリジナル)

We consider a dynamic assortment selection problem where a seller has a fixed inventory of $N$ substitutable products and faces an unknown demand that arrives sequentially over $T$ periods. In each period, the seller needs to decide on the assortment of products (satisfying certain constraints) to offer to the customers. The customer’s response follows an unknown multinomial logit model (MNL) with parameter $\boldsymbol{v}$. If customer selects product $i \in [N]$, the seller receives revenue $r_i$. The goal of the seller is to maximize the total expected revenue from the $T$ customers given the fixed initial inventory of $N$ products. We present MNLwK-UCB, a UCB-based algorithm and characterize its regret under different regimes of inventory size. We show that when the inventory size grows quasi-linearly in time, MNLwK-UCB achieves a $\tilde{O}(N + \sqrt{NT})$ regret bound. We also show that for a smaller inventory (with growth $\sim T^{\alpha}$, $\alpha < 1$), MNLwK-UCB achieves a $\tilde{O}(N(1 + T^{\frac{1 - \alpha}{2}}) + \sqrt{NT})$. In particular, over a long time horizon $T$, the rate $\tilde{O}(\sqrt{NT})$ is always achieved regardless of the constraints and the size of the inventory.

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