Towards Size-Independent Generalization Bounds for Deep Operator Nets

要約

最近、機械学習手法は大幅な進歩を遂げ、物理システムを分析するための有用なツールとなりました。
このテーマで特に活発な分野は、微分方程式を数値的に解くためのニューラル ネットの使用に焦点を当てた「物理情報に基づく機械学習」です。
この研究では、DeepONets のトレーニング中にサンプル外誤差を測定する理論を前進させることを目指しています。これは、PDE システムをワンショットで解決する最も汎用性の高い方法の 1 つです。
まず、DeepONets のクラスについて、関係するネットの幅に応じて明示的にスケールされない Rademacher の複雑さの限界を証明します。
次に、これを使用して、これらの DeepONet クラスに対して、ネットのサイズに明示的に依存しない一般化誤差限界を取得できるように、フーバー損失を選択する方法を示します。
私たちの理論的結果は、DeepONets によって解決される対象となっているあらゆる偏微分方程式に適用されることに注意してください。

要約(オリジナル)

In recent times machine learning methods have made significant advances in becoming a useful tool for analyzing physical systems. A particularly active area in this theme has been ‘physics-informed machine learning’ which focuses on using neural nets for numerically solving differential equations. In this work, we aim to advance the theory of measuring out-of-sample error while training DeepONets — which is among the most versatile ways to solve PDE systems in one-shot. Firstly, for a class of DeepONets, we prove a bound on their Rademacher complexity which does not explicitly scale with the width of the nets involved. Secondly, we use this to show how the Huber loss can be chosen so that for these DeepONet classes generalization error bounds can be obtained that have no explicit dependence on the size of the nets. We note that our theoretical results apply to any PDE being targeted to be solved by DeepONets.

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