HomPINNs: homotopy physics-informed neural networks for solving the inverse problems of nonlinear differential equations with multiple solutions

要約

解空間の非一意性、対称性、分岐から生じる複雑な動作のため、複数の解を使用して非線形微分方程式 (DE) の逆問題を解くことは困難な作業です。
これに対処するために、ホモトピー物理情報ニューラル ネットワーク (HomPINN) を提案します。これは、ホモトピー継続とニューラル ネットワーク (NN) を活用して逆問題を解決する新しいフレームワークです。
提案されたフレームワークは、DE 制約を遵守しながら、さまざまなソリューションにわたるラベルのない観測値を同時に近似するための NN の使用から始まります。
提案された方法は、ホモトピー継続を通じて、観測を追跡し、複数の解を特定することによって逆問題を解決します。
実験には、提案された方法のパフォーマンスを 1 次元 DE 上でテストし、それを 2 次元 Gray-Scott シミュレーションを解くために適用することが含まれます。
私たちの調査結果は、提案された方法がスケーラブルで適応性があり、複数のソリューションと未知のパラメーターを持つ DE を解決するための効果的なソリューションを提供することを示しています。
さらに、複雑なシステムのモデル化や物理学、化学、生物学などの逆問題の解決など、科学技術コンピューティングのさまざまな用途に大きな可能性を秘めています。

要約(オリジナル)

Due to the complex behavior arising from non-uniqueness, symmetry, and bifurcations in the solution space, solving inverse problems of nonlinear differential equations (DEs) with multiple solutions is a challenging task. To address this, we propose homotopy physics-informed neural networks (HomPINNs), a novel framework that leverages homotopy continuation and neural networks (NNs) to solve inverse problems. The proposed framework begins with the use of NNs to simultaneously approximate unlabeled observations across diverse solutions while adhering to DE constraints. Through homotopy continuation, the proposed method solves the inverse problem by tracing the observations and identifying multiple solutions. The experiments involve testing the performance of the proposed method on one-dimensional DEs and applying it to solve a two-dimensional Gray-Scott simulation. Our findings demonstrate that the proposed method is scalable and adaptable, providing an effective solution for solving DEs with multiple solutions and unknown parameters. Moreover, it has significant potential for various applications in scientific computing, such as modeling complex systems and solving inverse problems in physics, chemistry, biology, etc.

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