A Novel Skip Orthogonal List for Dynamic Optimal Transport Problem

要約

最適なトランスポートは、過去数十年にわたって最適化コミュニティから大きな注目を集めてきた基本的なトピックです。
この論文では、興味深い離散動的最適輸送問題について検討します。データ ポイントの重みや位置が変化したときに、最適な輸送計画を効率的に更新できるか?
この問題は、当然のことながら、機械学習におけるいくつかのアプリケーションによって引き起こされます。
たとえば、多くの場合、2 つの異なるデータセット間の最適な転送コストを計算する必要があります。
いくつかのデータ ポイントに何らかの変更が発生した場合、複雑性の高いコスト関数を再計算する必要があるでしょうか、それとも効率的な動的データ構造によってコストを更新する必要があるでしょうか?
これまでにいくつかの動的最大フロー アルゴリズムが提案されていることは承知していますが、動的最小コスト フロー問題に関する研究は、私たちの知る限りではまだかなり限られています。
我々は、いくつかの動的ツリー技術とともに、新しい 2D スキップ直交リストを提案します。
私たちのアルゴリズムは従来のシンプレックス法に基づいていますが、予想される $O(1)$ 時間内にピボットする変数を効率的に見つけ、予想される $O(|V|)$ 時間内に各ピボット操作を完了できます。ここで、$V$ は
すべての供給ノードと需要ノードのセット。
通常、動的変更では重大な変更が導入されないため、アルゴリズムでは実際に数回のシンプレックス反復のみが必要です。
したがって、私たちのアルゴリズムは、$|E| 全体にわたって少なくとも 1 回の走査を必要とする最適なトランスポート コストを再計算するよりも効率的です。
= O(|V|^2)$ 変数。$|E|$ はネットワーク内のエッジの数を示します。
私たちの実験は、私たちのアルゴリズムが動的シナリオにおいて既存のアルゴリズムよりも大幅に優れていることを示しています。

要約(オリジナル)

Optimal transport is a fundamental topic that has attracted a great amount of attention from the optimization community in the past decades. In this paper, we consider an interesting discrete dynamic optimal transport problem: can we efficiently update the optimal transport plan when the weights or the locations of the data points change? This problem is naturally motivated by several applications in machine learning. For example, we often need to compute the optimal transport cost between two different data sets; if some changes happen to a few data points, should we re-compute the high complexity cost function or update the cost by some efficient dynamic data structure? We are aware that several dynamic maximum flow algorithms have been proposed before, however, the research on dynamic minimum cost flow problem is still quite limited, to the best of our knowledge. We propose a novel 2D Skip Orthogonal List together with some dynamic tree techniques. Although our algorithm is based on the conventional simplex method, it can efficiently find the variable to pivot within expected $O(1)$ time, and complete each pivoting operation within expected $O(|V|)$ time where $V$ is the set of all supply and demand nodes. Since dynamic modifications typically do not introduce significant changes, our algorithm requires only a few simplex iterations in practice. So our algorithm is more efficient than re-computing the optimal transport cost that needs at least one traversal over all $|E| = O(|V|^2)$ variables, where $|E|$ denotes the number of edges in the network. Our experiments demonstrate that our algorithm significantly outperforms existing algorithms in the dynamic scenarios.

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