Robust Physics Informed Neural Networks

要約

偏微分方程式 (PDE) 解を近似するために、物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (RPINN) の堅牢バージョンを導入します。
Standard Physics Informed Neural Networks (PINN) では、学習プロセス中に PDE によって記述された支配的な物理法則が考慮されます。
ネットワークは、物理ドメインとその境界内でランダムに選択された点で構成されるデータセットでトレーニングされます。
PINN は、境界条件を使用して PDE によって記述されるさまざまな問題を解決するために適用されることに成功しています。
従来の PINN の損失関数は、PDE の強力な残差に基づいています。
PINN のこの損失関数は、一般に、真の誤差に関して堅牢ではありません。
PINN の損失関数は真の誤差からかけ離れている可能性があり、これによりトレーニング プロセスがより困難になります。
特に、トレーニング プロセスがすでに必要な精度でソリューションに収束しているかどうかはわかりません。
これは、正確な解がわからない場合に特に当てはまります。そのため、トレーニング中に真の誤差を推定することができません。
このペーパーでは、損失関数を定義する別の方法を紹介します。
これには、エネルギー ノルムを使用して計算されたグラム行列の残差と逆行列が組み込まれています。
2 つの空間次元における 2 つのラプラス問題と 1 つの移流拡散問題で RPINN アルゴリズムをテストします。
RPINN は堅牢な方法であると結論付けられます。
提案された損失は、エネルギー ノルムで測定した場合の解の真の誤差とよく一致します。
したがって、トレーニング プロセスがうまくいっているかどうかがわかり、必要な精度の真の誤差で偏微分方程式の解のニューラル ネットワーク近似を取得するためにトレーニングをいつ停止するべきかがわかります。

要約(オリジナル)

We introduce a Robust version of the Physics-Informed Neural Networks (RPINNs) to approximate the Partial Differential Equations (PDEs) solution. Standard Physics Informed Neural Networks (PINN) takes into account the governing physical laws described by PDE during the learning process. The network is trained on a data set that consists of randomly selected points in the physical domain and its boundary. PINNs have been successfully applied to solve various problems described by PDEs with boundary conditions. The loss function in traditional PINNs is based on the strong residuals of the PDEs. This loss function in PINNs is generally not robust with respect to the true error. The loss function in PINNs can be far from the true error, which makes the training process more difficult. In particular, we do not know if the training process has already converged to the solution with the required accuracy. This is especially true if we do not know the exact solution, so we cannot estimate the true error during the training. This paper introduces a different way of defining the loss function. It incorporates the residual and the inverse of the Gram matrix, computed using the energy norm. We test our RPINN algorithm on two Laplace problems and one advection-diffusion problem in two spatial dimensions. We conclude that RPINN is a robust method. The proposed loss coincides well with the true error of the solution, as measured in the energy norm. Thus, we know if our training process goes well, and we know when to stop the training to obtain the neural network approximation of the solution of the PDE with the true error of required accuracy.

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