Integration of physics-informed operator learning and finite element method for parametric learning of partial differential equations

要約

偏微分方程式をパラメトリックに解くために物理学に基づいた深層学習技術を採用する方法を紹介します。
焦点は、顕著な位相コントラストを示す不均一固体内の定常状態の熱方程式にあります。
同様の方程式は、化学拡散、静電気、ダルシー流などのさまざまな用途に現れます。
ニューラル ネットワークは、固定境界条件の下で、複雑な熱伝導率プロファイルと温度分布、および微細構造内の熱流束成分の間のリンクを確立することを目的としています。
特徴的な側面は、データの有限要素法のような古典的なソルバーから独立していることです。
注目すべき貢献は、支配方程式の離散化された弱形式に基づいて損失関数を定義する新しいアプローチにあります。
これにより、導関数に必要な次数が削減されるだけでなく、損失項の構築における自動微分が不要になり、選択した離散化方法による潜在的な数値誤差が許容されます。
結果として、この研究における損失関数は、トレーニング効率を大幅に向上させる代数方程式になります。
標準的な有限要素法と比較して手法のベンチマークを行い、温度と磁束プロファイルのトレーニング済みニューラル ネットワークを使用した正確かつ高速な予測を実証します。
また、予期せぬシナリオに対して、純粋にデータ駆動型のアプローチと比較して、提案された方法を使用することでより高い精度が得られることも示しています。

要約(オリジナル)

We present a method that employs physics-informed deep learning techniques for parametrically solving partial differential equations. The focus is on the steady-state heat equations within heterogeneous solids exhibiting significant phase contrast. Similar equations manifest in diverse applications like chemical diffusion, electrostatics, and Darcy flow. The neural network aims to establish the link between the complex thermal conductivity profiles and temperature distributions, as well as heat flux components within the microstructure, under fixed boundary conditions. A distinctive aspect is our independence from classical solvers like finite element methods for data. A noteworthy contribution lies in our novel approach to defining the loss function, based on the discretized weak form of the governing equation. This not only reduces the required order of derivatives but also eliminates the need for automatic differentiation in the construction of loss terms, accepting potential numerical errors from the chosen discretization method. As a result, the loss function in this work is an algebraic equation that significantly enhances training efficiency. We benchmark our methodology against the standard finite element method, demonstrating accurate yet faster predictions using the trained neural network for temperature and flux profiles. We also show higher accuracy by using the proposed method compared to purely data-driven approaches for unforeseen scenarios.

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