Generalized Quadratic Embeddings for Nonlinear Dynamics using Deep Learning

要約

エンジニアリング設計プロセスは、多くの場合、基礎となる動的動作を説明できる数学的モデリングに依存します。
この研究では、非線形システムのダイナミクスをモデル化するためのデータ駆動型の方法論を紹介します。
このタスクを簡素化するために、共通の単純なモデル構造を使用して非線形システムのダイナミクスを表現できる座標変換を特定することを目指します。
共通の単純なモデルの利点は、そのモデル用に開発されたカスタマイズされた設計ツールをさまざまな非線形システムの研究に適用できることです。
考えられる最も単純な一般的なモデルは線形ですが、線形システムでは、非線形システムの複雑なダイナミクスを正確に捉えるには不十分なことがよくあります。
この研究では、リフティング原理にヒントを得て、共通構造として 2 次システムを使用することを提案します。
この原理によれば、滑らかな非線形システムは、近似誤差なしで適切な座標の二次システムとして表現できます。
ただし、データのみからこれらの座標を見つけるのは困難です。
ここでは、深層学習を活用してデータのみを使用してそのようなリフトされた座標を特定し、二次力学システムでシステムのダイナミクスを記述できるようにします。
さらに、これらの二次力学システムの漸近安定性についても説明します。
さまざまな数値例から収集したデータを使用してこのアプローチを説明し、既存のよく知られた手法でその優れたパフォーマンスを実証します。

要約(オリジナル)

The engineering design process often relies on mathematical modeling that can describe the underlying dynamic behavior. In this work, we present a data-driven methodology for modeling the dynamics of nonlinear systems. To simplify this task, we aim to identify a coordinate transformation that allows us to represent the dynamics of nonlinear systems using a common, simple model structure. The advantage of a common simple model is that customized design tools developed for it can be applied to study a large variety of nonlinear systems. The simplest common model — one can think of — is linear, but linear systems often fall short in accurately capturing the complex dynamics of nonlinear systems. In this work, we propose using quadratic systems as the common structure, inspired by the lifting principle. According to this principle, smooth nonlinear systems can be expressed as quadratic systems in suitable coordinates without approximation errors. However, finding these coordinates solely from data is challenging. Here, we leverage deep learning to identify such lifted coordinates using only data, enabling a quadratic dynamical system to describe the system’s dynamics. Additionally, we discuss the asymptotic stability of these quadratic dynamical systems. We illustrate the approach using data collected from various numerical examples, demonstrating its superior performance with the existing well-known techniques.

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