Approximating Numerical Flux by Fourier Neural Operators for the Hyperbolic Conservation Laws

要約

PDEを数値的に解くための古典的な数値スキームが存在し、最近ではニューラルネットワークを用いた手法も開発されている。しかし、PINNやニューラル・オペレータのようなニューラルネットワークを用いた手法は、ロバスト性や汎化力に欠ける。このような欠点を補うため、数値計算スキームの一部をニューラルネットワークに置き換えることで、古典的な数値計算スキームと機械学習手法を組み合わせた研究が盛んに行われている。本研究では、双曲保存則に着目し、数値スキームにおける数値フラックスをニューラル演算子で置き換える。このために、保存則の数値スキームを動機とする損失を構築し、FNOによって数値フラックスを近似する。実験を通して、我々の手法が数値スキームとFNOの両方の利点を持つことを、オリジナルの手法と比較して示す。例えば、本手法がロバスト性、解像度不変性、データ駆動型手法としての実現可能性を獲得していることを示す。特に本手法は、既存のニューラル・オペレータ手法の課題である、時間的に連続な予測能力と、分布外のサンプルに対する汎化能力を有する。

要約(オリジナル)

Classical numerical schemes exist for solving PDEs numerically, and recently, neural network-based methods have been developed. However, methodologies using neural networks, such as PINN and neural operators, lack robustness and generalization power. To compensate for such drawbacks, there are many types of research combining classical numerical schemes and machine learning methods by replacing a small portion of the numerical schemes with neural networks. In this work, we focus on hyperbolic conservation laws and replace numerical fluxes in the numerical schemes by neural operator. For this, we construct losses that are motivated by numerical schemes for conservation laws and approximate numerical flux by FNO. Through experiments, we show that our methodology has advantages of both numerical schemes and FNO by comparing with original methods. For instance, we demonstrate our method gains robustness, resolution invariance property, and feasibility of a data-driven method. Our method especially has the ability to predict continuously in time and generalization power on the out-of-distribution samples, which are challenges to be tackled for existing neural operator methods.

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