Joint Learning of Linear Time-Invariant Dynamical Systems

要約

線形時不変システムは、システム理論と応用において非常に人気のあるモデルです。
現存する文献ではほとんど対処されていないシステム同定における基本的な問題は、関連する線形システム間の共通性を利用して、それらの遷移行列をより正確に推定することです。
この問題に対処するために、現在の論文では、複数のシステムの遷移行列を共同推定する方法を調査します。
遷移行列は、いくつかの未知の共有基底行列の未知の線形関数であると仮定されます。
我々は、検討中のシステムの軌道の長さ、次元、数の役割を完全に反映する有限時間推定誤差率を確立します。
提示された結果はかなり一般的なもので、各システムを個別に学習する場合と比較して、システム間でデータをプールすることで達成できる大幅な利益が得られることを示しています。
さらに、モデルの仕様ミスに対して堅牢であることが示されています。
結果を得るために、同様の共同学習問題に対処するための興味深い新しい技術を開発します。
これらには、遷移行列の固有構造に関して厳密に境界付けされた推定誤差、依存するランダム行列の特異値に対する明確な高確率境界の確立、およびシステムが時間の経過とともに進化するにつれて誤って指定された遷移行列の影響を捕捉することが含まれます。

要約(オリジナル)

Linear time-invariant systems are very popular models in system theory and applications. A fundamental problem in system identification that remains rather unaddressed in extant literature is to leverage commonalities amongst related linear systems to estimate their transition matrices more accurately. To address this problem, the current paper investigates methods for jointly estimating the transition matrices of multiple systems. It is assumed that the transition matrices are unknown linear functions of some unknown shared basis matrices. We establish finite-time estimation error rates that fully reflect the roles of trajectory lengths, dimension, and number of systems under consideration. The presented results are fairly general and show the significant gains that can be achieved by pooling data across systems in comparison to learning each system individually. Further, they are shown to be robust against model misspecifications. To obtain the results, we develop novel techniques that are of interest for addressing similar joint-learning problems. They include tightly bounding estimation errors in terms of the eigen-structures of transition matrices, establishing sharp high probability bounds for singular values of dependent random matrices, and capturing effects of misspecified transition matrices as the systems evolve over time.

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