Operator learning for hyperbolic partial differential equations

要約

入出力トレーニングペアから 2 つの変数の双曲線偏微分方程式 (PDE) の解演算子を回復するための、最初の厳密に正当化された確率的アルゴリズムを構築します。
双曲偏微分方程式の解演算子を回復する際の主な課題は、関連するグリーン関数が不連続である特性の存在です。
したがって、私たちのアルゴリズムの中心的なコンポーネントは、特性のおおよその位置を特定するランク検出スキームです。
ランダム化特異値分解とドメインの適応階層分割を組み合わせることで、$O(\Psi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-7}\log(\Xi_\) を使用して解演算子の近似式を構築します。
演算子ノルムにおける相対誤差 $O(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon)$ を持つ epsilon^{-1}\epsilon^{-1}))$ 入出力ペア $\epsilon\to0$
、高い確率で。
ここで、$\Psi_\epsilon$ は解演算子の縮退特異値の存在を表し、$\Xi_\epsilon$ は学習データの品質を測定します。
双曲線偏微分方程式には楕円偏微分方程式や放物線偏微分方程式のような「瞬間的な平滑化効果」がないことを考えると、双曲線偏微分方程式の係数の規則性に関する仮定は比較的弱く、係数の規則性が高まるにつれて回復率も向上します。

要約(オリジナル)

We construct the first rigorously justified probabilistic algorithm for recovering the solution operator of a hyperbolic partial differential equation (PDE) in two variables from input-output training pairs. The primary challenge of recovering the solution operator of hyperbolic PDEs is the presence of characteristics, along which the associated Green’s function is discontinuous. Therefore, a central component of our algorithm is a rank detection scheme that identifies the approximate location of the characteristics. By combining the randomized singular value decomposition with an adaptive hierarchical partition of the domain, we construct an approximant to the solution operator using $O(\Psi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-7}\log(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-1}))$ input-output pairs with relative error $O(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon)$ in the operator norm as $\epsilon\to0$, with high probability. Here, $\Psi_\epsilon$ represents the existence of degenerate singular values of the solution operator, and $\Xi_\epsilon$ measures the quality of the training data. Our assumptions on the regularity of the coefficients of the hyperbolic PDE are relatively weak given that hyperbolic PDEs do not have the “instantaneous smoothing effect” of elliptic and parabolic PDEs, and our recovery rate improves as the regularity of the coefficients increases.

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