Dynamic Algorithms for Matroid Submodular Maximization

要約

マトロイド制約とカーディナリティ制約の下でのサブモジュラー最大化は、機械学習、オークション理論、組み合わせ最適化などの幅広い用途に使用される古典的な問題です。
この論文では、これらの問題を動的設定で検討します。ここで、(1) 単調部分モジュラー関数 $f: 2^{V} \rightarrow \mathbb{R}^+$ に Oracle でアクセスでき、(2) 私たちは
基礎となる基底集合 $V$ の要素の挿入と削除のシーケンス $\mathcal{S}$ が与えられたとします。
予想される最悪のケース $O(k\log(k)\log^3{(k/\
epsilon)})$ クエリの複雑さ ($0 < \epsilon \le 1$)。 これにより、Chen と Peng (STOC'22) および Lattanzi らの未解決の問題が解決されます。 (NeurIPS'20)。 副産物として、カーディナリティ制約 $k$ の下でのサブモジュール最大化のために、シーケンス $\ の $(2+\epsilon)$ 近似解を維持するパラメータ化された (カーディナリティ制約 $k$ による) 動的アルゴリズムを提案します。 mathcal{S}$ は、予想される最悪のクエリ複雑さ $O(k\epsilon^{-1}\log^2(k))$ を使用して $t$ いつでも計算できます。 これは、グラウンド セット $V$ のサイズに依存しないクエリの複雑さをもつ、この問題に対する最初の動的アルゴリズムです。

要約(オリジナル)

Submodular maximization under matroid and cardinality constraints are classical problems with a wide range of applications in machine learning, auction theory, and combinatorial optimization. In this paper, we consider these problems in the dynamic setting, where (1) we have oracle access to a monotone submodular function $f: 2^{V} \rightarrow \mathbb{R}^+$ and (2) we are given a sequence $\mathcal{S}$ of insertions and deletions of elements of an underlying ground set $V$. We develop the first fully dynamic $(4+\epsilon)$-approximation algorithm for the submodular maximization problem under the matroid constraint using an expected worst-case $O(k\log(k)\log^3{(k/\epsilon)})$ query complexity where $0 < \epsilon \le 1$. This resolves an open problem of Chen and Peng (STOC'22) and Lattanzi et al. (NeurIPS'20). As a byproduct, for the submodular maximization under the cardinality constraint $k$, we propose a parameterized (by the cardinality constraint $k$) dynamic algorithm that maintains a $(2+\epsilon)$-approximate solution of the sequence $\mathcal{S}$ at any time $t$ using an expected worst-case query complexity $O(k\epsilon^{-1}\log^2(k))$. This is the first dynamic algorithm for the problem that has a query complexity independent of the size of ground set $V$.

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