Sample Path Regularity of Gaussian Processes from the Covariance Kernel

要約

ガウス過程 (GP) は、関数空間にわたる確率分布を定義するための最も一般的な形式です。
GP のアプリケーションは無数にありますが、GP サンプル パス、つまり確率測度を定義する関数空間についての包括的な理解が不足しています。
実際には、GP は確率測定を通じてではなく、平均関数と共分散カーネルを通じて構築されます。
この論文では、対応する GP のサンプル パスが所定の規則性を達成するための必要十分条件を共分散カーネルに提供します。
特に単純な条件が得られる古い規則性のフレームワークを使用します。これにより、静止 GP や等方性 GP の場合はさらに単純化されます。
次に、私たちの結果により、Mat\’ern GP などの機械学習アプリケーションで一般的に使用される GP のサンプル パス規則性の新規かつ異常に厳密な特徴付けが可能になることを示します。

要約(オリジナル)

Gaussian processes (GPs) are the most common formalism for defining probability distributions over spaces of functions. While applications of GPs are myriad, a comprehensive understanding of GP sample paths, i.e. the function spaces over which they define a probability measure on, is lacking. In practice, GPs are not constructed through a probability measure, but instead through a mean function and a covariance kernel. In this paper we provide necessary and sufficient conditions on the covariance kernel for the sample paths of the corresponding GP to attain a given regularity. We use the framework of H\’older regularity as it grants us particularly straightforward conditions, which simplify further in the cases of stationary and isotropic GPs. We then demonstrate that our results allow for novel and unusually tight characterisations of the sample path regularities of the GPs commonly used in machine learning applications, such as the Mat\’ern GPs.

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