Gerrymandering Planar Graphs

要約

地図再区画問題 (ゲリマンダリング) の計算の複雑さを研究します。
数学的には、選挙区設計者 (ゲリマンダラー) は、候補者 (政党) ができるだけ多くの選挙区で勝利するように、加重グラフを $k$ 個の連結成分 (選挙区) に分割しようとします。
これまでの研究は主に、グラフがパスまたはツリーである特殊なケースに関するものでした。
私たちは、グラフが平面である現実的なケースに焦点を当てます。
候補数と $\lambda$ が定数で、頂点の重み (投票重み) が多項式で制限されている場合、ゲリマンダリング問題が $\lambda$-outerplanar グラフの多項式時間で解けることを証明します。
対照的に、一般的な平面グラフでは、候補が 2 つだけであっても、問題は NP 完全です。
これは、ゲリマンダリング平面グラフの近似アルゴリズムの研究の動機となります。
ただし、候補者の数が多い場合、ゲリマンダラーが 1 つの選挙区で勝利できない場合と、ゲリマンダラーが少なくとも 1 つの選挙区で勝利できる場合を区別するのが難しいことがわかります。
これは、P=NP でない限り、再区画問題は平面グラフの多項式時間では近似できないことを直ちに意味します。
この結論は、優れた近似アルゴリズムの設計にとって最終的なものであるように見えますが、そうではありません。
非近似限界は、ゲリマンダラーが獲得できる地区の最大数が非常に小さい場合 (たとえば 1 地区) にのみ適用されるため、回避できます。
実際、候補数が固定されている場合、最適値が十分に大きい定数であれば、重み付けされていない平面グラフを再分割するための定数因数近似アルゴリズムが存在するという主な結果が得られます。

要約(オリジナル)

We study the computational complexity of the map redistricting problem (gerrymandering). Mathematically, the electoral district designer (gerrymanderer) attempts to partition a weighted graph into $k$ connected components (districts) such that its candidate (party) wins as many districts as possible. Prior work has principally concerned the special cases where the graph is a path or a tree. Our focus concerns the realistic case where the graph is planar. We prove that the gerrymandering problem is solvable in polynomial time in $\lambda$-outerplanar graphs, when the number of candidates and $\lambda$ are constants and the vertex weights (voting weights) are polynomially bounded. In contrast, the problem is NP-complete in general planar graphs even with just two candidates. This motivates the study of approximation algorithms for gerrymandering planar graphs. However, when the number of candidates is large, we prove it is hard to distinguish between instances where the gerrymanderer cannot win a single district and instances where the gerrymanderer can win at least one district. This immediately implies that the redistricting problem is inapproximable in polynomial time in planar graphs, unless P=NP. This conclusion appears terminal for the design of good approximation algorithms — but it is not. The inapproximability bound can be circumvented as it only applies when the maximum number of districts the gerrymanderer can win is extremely small, say one. Indeed, for a fixed number of candidates, our main result is that there is a constant factor approximation algorithm for redistricting unweighted planar graphs, provided the optimal value is a large enough constant.

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