Mathematical Foundations for a Compositional Account of the Bayesian Brain

要約

この論文は、能動推論とベイジアン脳の構成的説明に向けたいくつかの最初のステップを報告します。
具体的には、現代の応用カテゴリー理論のツールを使用して、近似推論のための関数意味論を提供します。
そうするために、「構文」側でベイズ レンズの新しい概念を定義し、ベイズ更新が合成レンズ パターンに従って合成されることを示します。
ベイジアン レンズを使用し、構成ゲーム理論に触発されて、統計ゲームのフィブレイションを定義し、統計的推論のさまざまな問題を対応するセクションとして分類します。相対エントロピーの連鎖規則は厳密なセクションとして形式化され、最尤推定と自由エネルギーは
緩いセクションを与えます。
その過程で、「コピー合成」という新しい概念を導入します。
「意味論」の面では、一般的な開いた力学系 (特に決定論的、確率的、ランダム、および離散時間と連続時間) の新しい形式化を、多項式関手の特定の共数として提示し、それらが単数の反対添字カテゴリに収集されることを示します。
(または、代わりに、一般化多項式関手の複数カテゴリの代数に)。
これらのインデックス付きカテゴリを使用して、繊毛のモノイド二カテゴリ、つまりレンズを制御し、関数意味論のターゲットを提供する動的システムを定義します。
したがって、自由エネルギー原理に基づいて予測符号化神経回路の双方向構成構造を説明するファンクターを構築し、それによって皮質で観察される双方向性に正式な数学的基礎を与えます。
その過程で、マルチカテゴリの線形回路図の代数を使用してレート コード化された神経回路を構成する方法を説明し、その後、これがレンズと多項式関手によって包含されることを示します。

要約(オリジナル)

This dissertation reports some first steps towards a compositional account of active inference and the Bayesian brain. Specifically, we use the tools of contemporary applied category theory to supply functorial semantics for approximate inference. To do so, we define on the `syntactic’ side the new notion of Bayesian lens and show that Bayesian updating composes according to the compositional lens pattern. Using Bayesian lenses, and inspired by compositional game theory, we define fibrations of statistical games and classify various problems of statistical inference as corresponding sections: the chain rule of the relative entropy is formalized as a strict section, while maximum likelihood estimation and the free energy give lax sections. In the process, we introduce a new notion of `copy-composition’. On the `semantic’ side, we present a new formalization of general open dynamical systems (particularly: deterministic, stochastic, and random; and discrete- and continuous-time) as certain coalgebras of polynomial functors, which we show collect into monoidal opindexed categories (or, alternatively, into algebras for multicategories of generalized polynomial functors). We use these opindexed categories to define monoidal bicategories of cilia: dynamical systems which control lenses, and which supply the target for our functorial semantics. Accordingly, we construct functors which explain the bidirectional compositional structure of predictive coding neural circuits under the free energy principle, thereby giving a formal mathematical underpinning to the bidirectionality observed in the cortex. Along the way, we explain how to compose rate-coded neural circuits using an algebra for a multicategory of linear circuit diagrams, showing subsequently that this is subsumed by lenses and polynomial functors.

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