Finite Element Operator Network for Solving Parametric PDEs

要約

偏微分方程式 (PDE) は、物理学、工学、金融などのさまざまな分野にわたる自然現象の理解と予測の基礎となります。
ただし、パラメトリック偏微分方程式を解くことは複雑なタスクであり、効率的な数値手法が必要です。
この論文では、有限要素演算子ネットワーク (FEONet) を使用してパラメトリック偏微分方程式を解くための新しいアプローチを提案します。
私たちが提案する手法は、従来の数値手法、特に有限要素法と組み合わせた深層学習の力を利用して、入出力トレーニング データのペアが存在しない場合でもパラメトリック偏微分方程式を解きます。
私たちはいくつかのベンチマーク問題に対してさまざまな実験を実行し、私たちのアプローチがさまざまな設定や環境にわたって優れたパフォーマンスを示し、精度、一般化、および計算の柔軟性の点で多用途性を証明していることを確認しました。
私たちの FEONet フレームワークは、多様な境界条件と特異な動作を持つ複雑なドメインをモデル化する際に PDE が重要な役割を果たすさまざまな分野での応用の可能性を示しています。
さらに、数値解析で有限要素近似を利用して、私たちのアプローチをサポートする理論的収束解析を提供します。

要約(オリジナル)

Partial differential equations (PDEs) underlie our understanding and prediction of natural phenomena across numerous fields, including physics, engineering, and finance. However, solving parametric PDEs is a complex task that necessitates efficient numerical methods. In this paper, we propose a novel approach for solving parametric PDEs using a Finite Element Operator Network (FEONet). Our proposed method leverages the power of deep learning in conjunction with traditional numerical methods, specifically the finite element method, to solve parametric PDEs in the absence of any paired input-output training data. We performed various experiments on several benchmark problems and confirmed that our approach has demonstrated excellent performance across various settings and environments, proving its versatility in terms of accuracy, generalization, and computational flexibility. Our FEONet framework shows potential for application in various fields where PDEs play a crucial role in modeling complex domains with diverse boundary conditions and singular behavior. Furthermore, we provide theoretical convergence analysis to support our approach, utilizing finite element approximation in numerical analysis.

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