Conductivity Imaging from Internal Measurements with Mixed Least-Squares Deep Neural Networks

要約

この研究では、ディープ ニューラル ネットワークを使用して、ドメイン全体にわたる解の 1 回の測定から楕円問題の導電率分布を再構築する新しいアプローチを開発します。
このアプローチは、支配方程式の混合再定式化に基づいており、標準の最小二乗目的を利用し、ディープ ニューラル ネットワークをアンザッツ関数として使用して、導電率と磁束を同時に近似します。
当社は、ノイズ レベル、さまざまなペナルティ パラメータ、ニューラル ネットワークのアーキテクチャ パラメータ (深さ、幅、パラメータ境界に関して明示的な厳密な誤差推定を含む) を含む、連続的損失と経験的損失の両方に対する導電率のディープ ニューラル ネットワーク近似の徹底的な分析を提供します。
）。
また、データノイズに対する優れた安定性や高次元の問題を解決する能力など、このアプローチの明確な特徴を示すために、2 次元および多次元での複数の数値実験も提供します。

要約(オリジナル)

In this work we develop a novel approach using deep neural networks to reconstruct the conductivity distribution in elliptic problems from one measurement of the solution over the whole domain. The approach is based on a mixed reformulation of the governing equation and utilizes the standard least-squares objective, with deep neural networks as ansatz functions to approximate the conductivity and flux simultaneously. We provide a thorough analysis of the deep neural network approximations of the conductivity for both continuous and empirical losses, including rigorous error estimates that are explicit in terms of the noise level, various penalty parameters and neural network architectural parameters (depth, width and parameter bound). We also provide multiple numerical experiments in two- and multi-dimensions to illustrate distinct features of the approach, e.g., excellent stability with respect to data noise and capability of solving high-dimensional problems.

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