Learning finitely correlated states: stability of the spectral reconstruction

要約

チェーン上の任意の有限相関平行移動不変状態の長さ $t$ のサブチェーンの辺縁が、ローカル次元、メモリに明示的に依存しながら、$O(t^2)$ コピーを使用してトレース距離で学習できることを示します。
状態から構築された特定のマップの次元とスペクトルのプロパティ、および $t$ の計算複雑さの多項式。
このアルゴリズムは、制御されたサイズの限界の推定のみを必要とし、最悪の場合は最小結合次元の倍数によって制限され、そこから並進不変行列積演算子を再構築します。
分析では、オペレーター システムの理論が中心的な役割を果たします。
改良された誤差限界は $C^*$ 有限相関状態に対して証明でき、これはメモリ システムに適用される逐次量子チャネルに関する操作的解釈を持ちます。
また、局所限界によって再構成可能な行列積密度演算子のクラスに対する類似の誤差限界を取得することもできます。
この場合、$\tilde{O}(t^3)$ のサンプル複雑度を取得して、周縁の線形数を推定する必要があります。
この学習アルゴリズムは、有限相関状態にのみ近い状態に対しても機能し、他の興味深い状態ファミリーに対して競合アルゴリズムを提供できる可能性があります。

要約(オリジナル)

We show that marginals of subchains of length $t$ of any finitely correlated translation invariant state on a chain can be learned, in trace distance, with $O(t^2)$ copies — with an explicit dependence on local dimension, memory dimension and spectral properties of a certain map constructed from the state — and computational complexity polynomial in $t$. The algorithm requires only the estimation of a marginal of a controlled size, in the worst case bounded by a multiple of the minimum bond dimension, from which it reconstructs a translation invariant matrix product operator. In the analysis, a central role is played by the theory of operator systems. A refined error bound can be proven for $C^*$-finitely correlated states, which have an operational interpretation in terms of sequential quantum channels applied to the memory system. We can also obtain an analogous error bound for a class of matrix product density operators reconstructible by local marginals. In this case, a linear number of marginals must be estimated, obtaining a sample complexity of $\tilde{O}(t^3)$. The learning algorithm also works for states that are only close to a finitely correlated state, with the potential of providing competitive algorithms for other interesting families of states.

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