From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems

要約

本論文では、一般的な有界領域$mathbb{R}^d$において、H’の古いデータに従うポアソン方程式の解の確率的近似とニューラルネットワーク近似を研究する。我々の目的は2つある。 1つ目は、最も重要なことであるが、ポアソン方程式の解をモンテカルロ法によってスーパーノルムで数値近似できることを示す。これは、所定の近似誤差に関して効率的であり、次元と誤差の逆数の多項式複雑度を持つ推定を提供する。｝{重要な特徴は、｝全体のサンプル数が、近似が実行される点に依存しないことである。 第二の目標として、得られたモンテカルロ・ソルバが、ポアソン問題に対するReLUディープ・ニューラル・ネットワーク(DNN)解を{構成的な方法で}生成することを示す。実際、我々はランダムDNNが高い確率で近似誤差が小さく、次元の多項式複雑度が低いことを示す。

要約(オリジナル)

In this paper we study probabilistic and neural network approximations for solutions to Poisson equation subject to H\’ older data in general bounded domains of $\mathbb{R}^d$. We aim at two fundamental goals. The first, and the most important, we show that the solution to Poisson equation can be numerically approximated in the sup-norm by Monte Carlo methods, { and that this can be done highly efficiently if we use a modified version} of the walk on spheres algorithm { as an acceleration method. This provides estimates which are efficient with respect to the prescribed approximation error and with polynomial complexity in the dimension and the reciprocal of the error.} {A crucial feature is that} the overall number of samples does not not depend on the point at which the approximation is performed. As a second goal, we show that the obtained Monte Carlo solver renders { in a constructive way} ReLU deep neural network (DNN) solutions to Poisson problem, whose sizes depend at most polynomialy in the dimension $d$ and in the desired error. In fact we show that the random DNN provides with high probability a small approximation error and low polynomial complexity in the dimension.

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