Operator Learning with Neural Fields: Tackling PDEs on General Geometries

要約

偏微分方程式を解くための機械学習アプローチでは、関数空間間のマッピングを学習する必要があります。
畳み込みニューラル ネットワークまたはグラフ ニューラル ネットワークは離散化された関数に制約されますが、ニューラル オペレーターは関数を直接マッピングするための有望なマイルストーンを示します。
目覚ましい結果にもかかわらず、ドメインの幾何学に関して依然として課題に直面しており、通常は何らかの形式の離散化に依存しています。
このような制限を軽減するために、一般的な幾何学上の偏微分方程式を解くために座標ベースのネットワークを利用する新しい方法である CORAL を紹介します。
CORAL は入力メッシュの制約を取り除くように設計されており、あらゆる空間サンプリングとジオメトリに適用できます。
その機能は、PDE 解法、時空間予測、幾何学的設計などの逆問題を含む、さまざまな問題領域に拡張されています。
CORAL は、複数の解像度にわたって堅牢なパフォーマンスを示し、凸領域と非凸領域の両方で優れたパフォーマンスを発揮し、最先端のモデルを上回る、または同等のパフォーマンスを発揮します。

要約(オリジナル)

Machine learning approaches for solving partial differential equations require learning mappings between function spaces. While convolutional or graph neural networks are constrained to discretized functions, neural operators present a promising milestone toward mapping functions directly. Despite impressive results they still face challenges with respect to the domain geometry and typically rely on some form of discretization. In order to alleviate such limitations, we present CORAL, a new method that leverages coordinate-based networks for solving PDEs on general geometries. CORAL is designed to remove constraints on the input mesh, making it applicable to any spatial sampling and geometry. Its ability extends to diverse problem domains, including PDE solving, spatio-temporal forecasting, and inverse problems like geometric design. CORAL demonstrates robust performance across multiple resolutions and performs well in both convex and non-convex domains, surpassing or performing on par with state-of-the-art models.

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