A Nyström method with missing distances

要約

アンカーノードとして知られる $m$ 固定点までのペアごとの距離を利用して、移動ノードと呼ばれる $n$ 点の構成を決定する問題を研究します。
標準設定では、アンカー間の距離 (アンカー-アンカー)、およびアンカーとモバイル ノード間の距離 (アンカー-モバイル) についての情報はありますが、モバイル ノード間の距離 (モバイル-モバイル) は不明です。
この設定では、Nystr\’om メソッドがモバイル ノードの位置を推定するための実行可能な手法です。
この研究は、距離行列のアンカー-モバイルブロックが部分的な距離情報のみを含む設定に焦点を当てています。
まず、グラフ ラプラシアンを介して、距離行列のアンカー-モバイル ブロックの列とグラム行列の対応するブロックの列の間の関係を確立します。
この関係を利用して、特別な非直交基底における展開係数のサブセットが与えられた場合に、内積行列の低ランク回復として位置推定問題を組み立てる新しいサンプリング モデルを導入します。
この基礎とその二重基礎、つまりモデルの中心的な要素は、明示的に導出されます。
私たちの分析は、Nystr\’om メソッドに特有の点の特定の中心合わせに基づいています。
これを念頭に置いて、任意の中心にある点に対する一般的な二重基底アプローチを提供することで、ユークリッド距離幾何学の以前の研究を拡張しました。

要約(オリジナル)

We study the problem of determining the configuration of $n$ points, referred to as mobile nodes, by utilizing pairwise distances to $m$ fixed points known as anchor nodes. In the standard setting, we have information about the distances between anchors (anchor-anchor) and between anchors and mobile nodes (anchor-mobile), but the distances between mobile nodes (mobile-mobile) are not known. For this setup, the Nystr\’om method is a viable technique for estimating the positions of the mobile nodes. This study focuses on the setting where the anchor-mobile block of the distance matrix contains only partial distance information. First, we establish a relationship between the columns of the anchor-mobile block in the distance matrix and the columns of the corresponding block in the Gram matrix via a graph Laplacian. Exploiting this connection, we introduce a novel sampling model that frames the position estimation problem as low-rank recovery of an inner product matrix, given a subset of its expansion coefficients in a special non-orthogonal basis. This basis and its dual basis–the central elements of our model–are explicitly derived. Our analysis is grounded in a specific centering of the points that is unique to the Nystr\’om method. With this in mind, we extend previous work in Euclidean distance geometry by providing a general dual basis approach for points centered anywhere.

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