Disentangling the Spectral Properties of the Hodge Laplacian: Not All Small Eigenvalues Are Equal

要約

グラフ ラプラシアンの豊富なスペクトル情報は、グラフ理論、機械学習、およびグラフ分類、クラスタリング、固有モード解析などのアプリケーションのグラフ信号処理に役立ちます。
最近、ホッジ ラプラシアンは、単純関数やセル複合体などの高次グラフ モデルに対する通常のラプラシアンを一般化したものとして注目されています。
グラフ ラプラシアンの伝統的な分析と同様に、多くの著者は、相同性などの重要な位相特性に関連するホッジ ラプラシアンの最小固有値を分析しています。
ただし、ホッジ ラプラシアンの小さな固有値は、カール固有モードに関連するか勾配固有モードに関連するかに応じて異なる情報を伝える可能性があるため、比較できない場合があります。
したがって、永続的な固有ベクトルの類似性の概念を導入し、すべての可能なスケールにわたるホッジ ラプラシアン スペクトルに含まれる完全な情報を利用して、いわゆる永続性フィルターを通じて個々の高調波、カール、および勾配の固有ベクトル/値を追跡する方法を提供します。
点群。
最後に、洞察を使用して、(a) 新しい形式のトポロジカル スペクトル クラスタリングを導入し、(b) 最小の調和、カール、および勾配固有ベクトルとの関係に基づいてエッジと高次のシンプライスを分類します。

要約(オリジナル)

The rich spectral information of the graph Laplacian has been instrumental in graph theory, machine learning, and graph signal processing for applications such as graph classification, clustering, or eigenmode analysis. Recently, the Hodge Laplacian has come into focus as a generalisation of the ordinary Laplacian for higher-order graph models such as simplicial and cellular complexes. Akin to the traditional analysis of graph Laplacians, many authors analyse the smallest eigenvalues of the Hodge Laplacian, which are connected to important topological properties such as homology. However, small eigenvalues of the Hodge Laplacian can carry different information depending on whether they are related to curl or gradient eigenmodes, and thus may not be comparable. We therefore introduce the notion of persistent eigenvector similarity and provide a method to track individual harmonic, curl, and gradient eigenvectors/-values through the so-called persistence filtration, leveraging the full information contained in the Hodge-Laplacian spectrum across all possible scales of a point cloud. Finally, we use our insights (a) to introduce a novel form of topological spectral clustering and (b) to classify edges and higher-order simplices based on their relationship to the smallest harmonic, curl, and gradient eigenvectors.

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