Compressive Fourier collocation methods for high-dimensional diffusion equations with periodic boundary conditions

要約

高次元偏微分方程式 (PDE) は、金融から計算化学に至るまで幅広い用途で使用される、人気のある数学モデリング ツールです。
ただし、これらの偏微分方程式を解くための標準的な数値手法は、通常、次元の呪いの影響を受けます。
この研究では、周期的な境界条件を持つ高次元領域にわたって定義される定常拡散方程式に焦点を当てながら、この課題に取り組みます。
高次元でのスパース関数近似における最近の進歩に触発されて、我々は圧縮フーリエ配列と呼ばれる新しい方法を提案します。
圧縮センシングとスペクトル コロケーションからのアイデアを組み合わせた私たちの方法では、構造化コロケーション グリッドの使用をモンテカルロ サンプリングに置き換え、直交マッチング追跡や $\ell^1$ 最小化などのスパース回復手法を使用して偏微分方程式のフーリエ係数を近似します。
解決。
我々は厳密な理論解析を実施し、提案手法の近似誤差が解に対する最良の$s$項近似(フーリエ基底に関して)に匹敵することを示した。
有界リース系で最近導入されたランダムサンプリングのフレームワークを使用した我々の分析は、圧縮フーリエ配列法が、拡散係数の規則性に関する十分な条件下で配列点の数に関する次元性の呪いを軽減することを示しています。
また、疎な圧縮性の解を近似するための方法の精度と安定性を示す数値実験も紹介します。

要約(オリジナル)

High-dimensional Partial Differential Equations (PDEs) are a popular mathematical modelling tool, with applications ranging from finance to computational chemistry. However, standard numerical techniques for solving these PDEs are typically affected by the curse of dimensionality. In this work, we tackle this challenge while focusing on stationary diffusion equations defined over a high-dimensional domain with periodic boundary conditions. Inspired by recent progress in sparse function approximation in high dimensions, we propose a new method called compressive Fourier collocation. Combining ideas from compressive sensing and spectral collocation, our method replaces the use of structured collocation grids with Monte Carlo sampling and employs sparse recovery techniques, such as orthogonal matching pursuit and $\ell^1$ minimization, to approximate the Fourier coefficients of the PDE solution. We conduct a rigorous theoretical analysis showing that the approximation error of the proposed method is comparable with the best $s$-term approximation (with respect to the Fourier basis) to the solution. Using the recently introduced framework of random sampling in bounded Riesz systems, our analysis shows that the compressive Fourier collocation method mitigates the curse of dimensionality with respect to the number of collocation points under sufficient conditions on the regularity of the diffusion coefficient. We also present numerical experiments that illustrate the accuracy and stability of the method for the approximation of sparse and compressible solutions.

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