Neural Control of Parametric Solutions for High-dimensional Evolution PDEs

要約

私たちは、進化偏微分方程式 (PDE) の解演算子を近似するための新しい計算フレームワークを開発します。
ディープ ニューラル ネットワークなどの一般的な非線形低次数モデルを使用して特定の偏微分方程式の解を近似することにより、モデル パラメーターの進化がパラメーター空間における制御問題であることがわかります。
この観察に基づいて、パラメータ空間で制御ベクトル場を学習することによって PDE の解演算子を近似することを提案します。
この制御フィールドは、任意の初期値からパラメータを操作して、対応する低次数モデルが偏微分方程式を解くような軌道を生成できます。
これにより、任意の初期条件で進化型偏微分方程式を解くための計算コストを大幅に削減できます。
また、大規模な半線形放物線偏微分方程式を解く際の、提案された方法の包括的な誤差分析も開発します。
さまざまな初期条件を使用したさまざまな高次元進化偏微分方程式に関する数値実験により、提案された方法の有望な結果が実証されました。

要約(オリジナル)

We develop a novel computational framework to approximate solution operators of evolution partial differential equations (PDEs). By employing a general nonlinear reduced-order model, such as a deep neural network, to approximate the solution of a given PDE, we realize that the evolution of the model parameter is a control problem in the parameter space. Based on this observation, we propose to approximate the solution operator of the PDE by learning the control vector field in the parameter space. From any initial value, this control field can steer the parameter to generate a trajectory such that the corresponding reduced-order model solves the PDE. This allows for substantially reduced computational cost to solve the evolution PDE with arbitrary initial conditions. We also develop comprehensive error analysis for the proposed method when solving a large class of semilinear parabolic PDEs. Numerical experiments on different high-dimensional evolution PDEs with various initial conditions demonstrate the promising results of the proposed method.

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