Going beyond persistent homology using persistent homology

要約

メッセージ パッシング グラフ ニューラル ネットワーク (MP-GNN) の表現限界は、例えば同型性のワイスフェイラー レーマン (WL) 検定の観点からよく理解されています。
永続的相同性 (PH) を介してトポロジカルな特徴を備えたこれらのグラフ モデルを拡張することが注目を集めていますが、PH が認識できる属性付きグラフのクラスの特定は未解決のままです。
この重要な問題を完全に解決するために、色分解セットの新しい概念を導入します。
具体的には、頂点とエッジの色のフィルター関数から得られる、接続成分の永続性に基づいてグラフを区別するための必要十分条件を確立します。
私たちの構築は頂点レベルおよびエッジレベルの PH の限界を明らかにし、どちらのカテゴリーも他方を包含しないことを証明します。
これらの理論的洞察を活用して、グラフ上のトポロジー特徴を学習するための RePHINE を提案します。
RePHINE は頂点レベルとエッジレベルの PH を効率的に組み合わせて、両方よりも強力なスキームを実現します。
RePHINE を MP-GNN に統合すると、表現力が向上し、グラフ分類のいくつかのベンチマークで標準 PH よりも向上します。

要約(オリジナル)

Representational limits of message-passing graph neural networks (MP-GNNs), e.g., in terms of the Weisfeiler-Leman (WL) test for isomorphism, are well understood. Augmenting these graph models with topological features via persistent homology (PH) has gained prominence, but identifying the class of attributed graphs that PH can recognize remains open. We introduce a novel concept of color-separating sets to provide a complete resolution to this important problem. Specifically, we establish the necessary and sufficient conditions for distinguishing graphs based on the persistence of their connected components, obtained from filter functions on vertex and edge colors. Our constructions expose the limits of vertex- and edge-level PH, proving that neither category subsumes the other. Leveraging these theoretical insights, we propose RePHINE for learning topological features on graphs. RePHINE efficiently combines vertex- and edge-level PH, achieving a scheme that is provably more powerful than both. Integrating RePHINE into MP-GNNs boosts their expressive power, resulting in gains over standard PH on several benchmarks for graph classification.

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