A graph convolutional autoencoder approach to model order reduction for parametrized PDEs

要約

本研究では、グラフ畳み込みオートエンコーダ (GCA-ROM) に基づく非線形モデルの次数削減のフレームワークを提案します。
縮小次数モデリング (ROM) のコンテキストでは、パラメトリック偏微分方程式 (PDE) のリアルタイムの多クエリ評価を取得することに興味があります。
Proper Orthogonal Decomposition (POD) や Greedy アルゴリズムなどの線形手法は徹底的に分析されていますが、コルモゴロフ n 幅の急速な減衰を示す線形モデルやアフィン モデルを扱う場合には、より適しています。
一方では、オートエンコーダ アーキテクチャは POD 圧縮手順の非線形一般化を表しており、主な特徴を抽出しながら潜在変数セット内の主な情報をエンコードできるようにします。
一方、グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) は、非構造化メッシュ上で定義された PDE ソリューションを研究するための自然なフレームワークを構成します。
ここでは、GNN を利用して縮小多様体をエンコードし、パラメータ化された偏微分方程式の高速評価を可能にする、非侵入的でデータ駆動型の非線形縮小アプローチを開発します。
いくつかのモデル、つまり物理的および幾何学的にパラメータ化された設定における速い/遅い減衰を伴う線形/非線形およびスカラー/ベクトル問題に対する方法論の機能を示します。
私たちのアプローチの主な特性は、(i) 複雑なレジームであっても低データレジームでの高い一般化可能性、(ii) 一般的な非構造化グリッドへの物理的な準拠、および (iii) 分散されたデータから学習するためのプーリングおよび非プーリング操作の活用で構成されます。
データ。

要約(オリジナル)

The present work proposes a framework for nonlinear model order reduction based on a Graph Convolutional Autoencoder (GCA-ROM). In the reduced order modeling (ROM) context, one is interested in obtaining real-time and many-query evaluations of parametric Partial Differential Equations (PDEs). Linear techniques such as Proper Orthogonal Decomposition (POD) and Greedy algorithms have been analyzed thoroughly, but they are more suitable when dealing with linear and affine models showing a fast decay of the Kolmogorov n-width. On one hand, the autoencoder architecture represents a nonlinear generalization of the POD compression procedure, allowing one to encode the main information in a latent set of variables while extracting their main features. On the other hand, Graph Neural Networks (GNNs) constitute a natural framework for studying PDE solutions defined on unstructured meshes. Here, we develop a non-intrusive and data-driven nonlinear reduction approach, exploiting GNNs to encode the reduced manifold and enable fast evaluations of parametrized PDEs. We show the capabilities of the methodology for several models: linear/nonlinear and scalar/vector problems with fast/slow decay in the physically and geometrically parametrized setting. The main properties of our approach consist of (i) high generalizability in the low-data regime even for complex regimes, (ii) physical compliance with general unstructured grids, and (iii) exploitation of pooling and un-pooling operations to learn from scattered data.

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