Manifold-augmented Eikonal Equations: Geodesic Distances and Flows on Differentiable Manifolds

要約

機械学習モデルによって発見された多様体は、基礎となるデータのコンパクトな表現を提供します。
これらの多様体上の測地線は、局所的に長さを最小にする曲線を定義し、低次モデリング、統計的推論、内挿の鍵となる距離の概念を提供します。
この研究では、多様体拡張アイコナール方程式の解を利用して、多様体上の距離場と測地線流に対するモデルベースのパラメータ化を提案します。
多様体の幾何学形状が距離場にどのような影響を与えるかを示し、測地線の流れを利用して全体的に長さを最小にする曲線を直接取得します。
この研究により、微分可能多様体に関する統計と低次数モデリングの機会が開かれます。

要約(オリジナル)

Manifolds discovered by machine learning models provide a compact representation of the underlying data. Geodesics on these manifolds define locally length-minimising curves and provide a notion of distance, which are key for reduced-order modelling, statistical inference, and interpolation. In this work, we propose a model-based parameterisation for distance fields and geodesic flows on manifolds, exploiting solutions of a manifold-augmented Eikonal equation. We demonstrate how the geometry of the manifold impacts the distance field, and exploit the geodesic flow to obtain globally length-minimising curves directly. This work opens opportunities for statistics and reduced-order modelling on differentiable manifolds.

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