Near-Optimal Min-Sum Motion Planning for Two Square Robots in a Polygonal Environment

要約

$\mathcal{W} \subset \mathbb{R}^2$ を合計 $n$ 個の頂点を持つ平面多角形環境 (つまり、潜在的に穴のある多角形) とし、$A,B$ を 2 台のロボットとする
、それぞれが軸に沿った単位正方形としてモデル化されており、$\mathcal{W}$ 内で変換できます。
ソースとターゲットの配置 $s_A,t_A,s_B,t_B \in \mathcal{W}$ がそれぞれ $A$ と $B$ であるとすると、目標は \emph{衝突のない運動計画} $\mathbf を計算することです。
{\pi}^*$、つまり、$A$ を $s_A$ から $t_A$ に、$B$ を $s_B$ から $t_B$ に連続的に移動させて、$A$ と $B$ が内部に留まるようにする運動計画
$\mathcal{W}$ と動作中に互いに衝突しません。
さらに、そのような計画が存在する場合、ロボットが通過する経路の長さの合計 $\left|\mathbf{\pi}^*\right|$ を最小にする計画を返したいと考えます。
$\mathcal{W}、s_A,t_A,s_B,t_B$、およびパラメーター $\varepsilon > 0$ を指定すると、 $n^2\varepsilon^{-O(1)} \log n$-time $ が表示されます。
この問題に対する (1+\varepsilon)$ 近似アルゴリズム。
この問題に対する多項式時間アルゴリズムは不明です。また、問題が NP ハードであるかどうかもわかりません。
私たちの結果は、多角形環境内で移動する 2 台のロボットを含む最適な動作計画問題に対する最初の多項式時間 $(1+\varepsilon)$ 近似アルゴリズムです。

要約(オリジナル)

Let $\mathcal{W} \subset \mathbb{R}^2$ be a planar polygonal environment (i.e., a polygon potentially with holes) with a total of $n$ vertices, and let $A,B$ be two robots, each modeled as an axis-aligned unit square, that can translate inside $\mathcal{W}$. Given source and target placements $s_A,t_A,s_B,t_B \in \mathcal{W}$ of $A$ and $B$, respectively, the goal is to compute a \emph{collision-free motion plan} $\mathbf{\pi}^*$, i.e., a motion plan that continuously moves $A$ from $s_A$ to $t_A$ and $B$ from $s_B$ to $t_B$ so that $A$ and $B$ remain inside $\mathcal{W}$ and do not collide with each other during the motion. Furthermore, if such a plan exists, then we wish to return a plan that minimizes the sum of the lengths of the paths traversed by the robots, $\left|\mathbf{\pi}^*\right|$. Given $\mathcal{W}, s_A,t_A,s_B,t_B$ and a parameter $\varepsilon > 0$, we present an $n^2\varepsilon^{-O(1)} \log n$-time $(1+\varepsilon)$-approximation algorithm for this problem. We are not aware of any polynomial time algorithm for this problem, nor do we know whether the problem is NP-Hard. Our result is the first polynomial-time $(1+\varepsilon)$-approximation algorithm for an optimal motion planning problem involving two robots moving in a polygonal environment.

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