Helmholtzian Eigenmap: Topological feature discovery & edge flow learning from point cloud data

要約

多様体ヘルムホルツ (1-ラプラシアン) 演算子 $\Delta_1$ は、ラプラス ベルトラミ演算子を多様体 $\mathcal M$ 上のベクトル場にエレガントに一般化します。
この研究では、重み付き 1-ラプラシアン $\mathcal L_1$ による点群データから多様体ヘルムホルツ関数を推定することを提案します。
高次のラプラシアンは導入され研究されてきましたが、この研究はノンパラメトリック設定における連続演算子の一貫した推定量として単純複素数から構築されたグラフ ヘルムホルツを初めて提示したものです。
$\mathcal M$ に関する幾何学的および位相情報を備えた Helmholtzian は、Helmholtz-Hodge 定理を介して $\mathcal M$ 上の流れとベクトル場を解析するための便利なツールです。
さらに、$\mathcal L_1$ を使用すると、フローの平滑化、予測、および特徴抽出が可能になります。
我々は、これらの可能性を、自明ではないトポロジ構造を持つ合成点群データセットと実際の点群データセットの実質的なセットで実証します。
$\mathcal L_1$ から $\Delta_1$ までの制限に関する理論的結果を提供します。

要約(オリジナル)

The manifold Helmholtzian (1-Laplacian) operator $\Delta_1$ elegantly generalizes the Laplace-Beltrami operator to vector fields on a manifold $\mathcal M$. In this work, we propose the estimation of the manifold Helmholtzian from point cloud data by a weighted 1-Laplacian $\mathcal L_1$. While higher order Laplacians have been introduced and studied, this work is the first to present a graph Helmholtzian constructed from a simplicial complex as a consistent estimator for the continuous operator in a non-parametric setting. Equipped with the geometric and topological information about $\mathcal M$, the Helmholtzian is a useful tool for the analysis of flows and vector fields on $\mathcal M$ via the Helmholtz-Hodge theorem. In addition, the $\mathcal L_1$ allows the smoothing, prediction, and feature extraction of the flows. We demonstrate these possibilities on substantial sets of synthetic and real point cloud datasets with non-trivial topological structures; and provide theoretical results on the limit of $\mathcal L_1$ to $\Delta_1$.

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