Graph Matching via convex relaxation to the simplex

要約

この論文では、2 つの入力グラフ間で可能な限り最適な位置合わせを見つけることからなるグラフ マッチング問題について説明します。この問題は、コンピュータ ビジョン、ネットワークの匿名化、タンパク質の位置合わせなどに多くの用途があります。
この問題に取り組む一般的なアプローチは、NP 困難 \emph{二次代入問題} (QAP) の凸緩和を使用することです。
ここでは、単体単体に新しい凸緩和を導入し、この問題を解決するための閉じた形式の反復による効率的なミラー降下スキームを開発します。
相関ガウス ウィグナー モデルの下で、単体緩和が高い確率で一意の解を許容することを示します。
ノイズのない場合、これはグラウンド トゥルース順列の正確な回復を意味することが示されています。
さらに、標準的な欲張り丸め法で入力行列の新しい十分条件を確立します。これは、一般的に使用される「対角優勢」条件よりも制限が緩いものです。
この条件を使用して、ノイズのない設定で、ミラー降下スキームを介したグラウンド トゥルースの正確な 1 ステップ回復 (ほぼ確実に保持される) を示します。
また、この条件を使用して、GRAMPA アルゴリズムの大幅に改善された条件を取得します [Fan et al.
2019]をノイズレス設定で。

要約(オリジナル)

This paper addresses the Graph Matching problem, which consists of finding the best possible alignment between two input graphs, and has many applications in computer vision, network deanonymization and protein alignment. A common approach to tackle this problem is through convex relaxations of the NP-hard \emph{Quadratic Assignment Problem} (QAP). Here, we introduce a new convex relaxation onto the unit simplex and develop an efficient mirror descent scheme with closed-form iterations for solving this problem. Under the correlated Gaussian Wigner model, we show that the simplex relaxation admits a unique solution with high probability. In the noiseless case, this is shown to imply exact recovery of the ground truth permutation. Additionally, we establish a novel sufficiency condition for the input matrix in standard greedy rounding methods, which is less restrictive than the commonly used `diagonal dominance’ condition. We use this condition to show exact one-step recovery of the ground truth (holding almost surely) via the mirror descent scheme, in the noiseless setting. We also use this condition to obtain significantly improved conditions for the GRAMPA algorithm [Fan et al. 2019] in the noiseless setting.

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